matematikk.net

Noen kjappe spm:

1. Jeg kan skrive [tex]\vec{e}=\left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix {\vec{p} \cr \vec{q} \cr } } \right]=\left[ {\matrix{\vec{p} \cr 2\vec{q} \cr } } \right][/tex] ??

2. Hvis jeg skisserer vektorene før transformasjonen (for det er jo disse som er oppgitt):

viking wrote:Egenvektorene er de vektorene som beholder retning ved transformasjonen. Lengden blir ganget med egenverdien.

Du kan altså bytte ut hele transformajonen med å bare multiplisere med egenverdien i stedet.

m.a.o. de skal bare fortsette på den linjen jeg har skissert ovenfor?


Jeg prøver å løse transformasjonen:

Her danner jeg transformasjonsmatrisen slik:

[tex]$$T(\left[ {\matrix{e \cr f \cr } } \right])=\left[ {\matrix{{p + 2q} \cr { - p + q} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{p \cr q \cr } } \right]$$[/tex]

Her er transformasjonsmatrisen [tex]$$M=\left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] $$[/tex]


Er dette riktig? Jeg mener det ikke er det, for videre i oppgaven skal [tex]\vec{e}[/tex] og [tex]\vec{f}[/tex] være egenvektorer til M!


Videre gir dette meg:


[tex]$$T\left( \vec{e} \right) = M\left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{1 + 4} \cr { - 1 + 2} \cr } } \right] = \underline{\underline {\left[ {\matrix{5 \cr 1 \cr } } \right]}} $$[/tex]

[tex]$$T\left( \vec{e} \right) = M\left[ {\matrix{{ - 1} \cr 1 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 1} \cr 1 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 1 + 2} \cr {1 + 1} \cr } } \right] = \underline{\underline {\left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right]}} $$[/tex]


Det er ganske tydelig at de vektorene jeg har funnet ikke er en forlengelse av de opprinnelige vektorer, de skifter retning!

Egenvektorene med tilhørende verdier er definert slik at
[tex]A\vec x = \lambda \vec x[/tex]

Dette betyr at hvis du utfører transformasjonen på en av egenvektoren, så får du samme resultat som om du hadde bytta ut hele transformasjonsmatrisa med egenvektorens respektive egenverdi istedet.

Dette er du kanskje kjent med?

Aleks855 wrote:Egenvektorene med tilhørende verdier er definert slik at
[tex]A\vec x = \lambda \vec x[/tex]

Dette betyr at hvis du utfører transformasjonen på en av egenvektoren, så får du samme resultat som om du hadde bytta ut hele transformasjonsmatrisa med egenvektorens respektive egenverdi istedet.

Dette er du kanskje kjent med?

Ja, dette har jeg sett i videoene dine - tusen takk

Sier du at de transformerte vektorene jeg har funnet er riktige og at vektorene e og f er egenvektorer til matrisen A?

Du vil bare at jeg skal forstå det fra bunnen av?