Kan komme med en kjapp forklaring, du får spørre hvis du ikke skjønner hva jeg snakker om
Når vi summerer de første n tallene, ser vi på rekken 1 + 2 + 3 + 4 + ... +n.. Dersom vi skulle ønske å summere de (n+1) første tallene, kunne vi ha lagt (n+1) til summen for de n første tallene.
Generelt kan vi altså finne det neste leddet i rekken ved å legge noe til det foregående leddet. Dette er opphavet til differens-likninger, eller rekkursive likninger som det også kalles.
La oss se på [tex]\sum _{i=1} ^ n [/tex], med ønsket om å finne ut av hvordan vi har kommet frem til formelen [tex] \frac {n(n+1)} {2}[/tex] i tankene.
la oss innføre et navn for hver av leddene i rekken følgen 0, 0+ 1, 0+ 1+2, 0+1+2+3, 0+1+2+3+4, ...
Vi kaller det første ledded for [tex]x_0[/tex], det andre for [tex]x_1[/tex], det tredje for [tex]x_2[/tex] og så videre.
Dette gjør at vi kan finne frem til [tex]x_4[/tex] ved å regne ut [tex]x_3 + 4 = (0 + 1+2+3) + 4 [/tex]. Videre kan vi regne ut [tex] x_5 = x_4 + 5 = ((0 + 1+2+3)+4)) + 5). [/tex]
Vi ser utfra dette at sammenhengen mellom det forrige og det neste leddet er gitt ved [tex] x_n= x_{n-1} + n \Leftrightarrow x_{n}- x_{n-1} = n [/tex] (1)
Denne siste likningen, som er en differenslikning, kan løses analytisk. Med å løse den, mener jeg å finne et utrrykk for det n-te leddet som en funksjon av n.
Jeg kan gå litt mer i dybden på løsningen av slike likninger hvis du vil, men oppgaven består av to deler. Vi skal finne en løsning for [tex] x_n - x_{n-1= 0 [/tex] og "gjette" oss til èn partikulær løsning av likningen.
Det er ganske enkelt å se at [tex]x_n - x_{n-1} = 0 \Leftrightarrow x_n = x_{n-1} = C [/tex]
Når vi skal gjette oss til èn løsning, velger vi å gjette på et uttrykk som har samme form som høyresiden i likningen, altså i vårt tilfelle n, eller for å være helt presise et polynom av første grad der hvor n er variabel.
Vi kaller den partikulære løsningen vi er ute etter for [tex] x_n^p [/tex], og vi lar denne være polynomet [tex] x_n^p = An + B [/tex].
Vi setter inn dette i venstresiden i likningen vår, og får
[tex] An + B - A(n-1) - B = n \Leftrightarrow A = n[/tex]
Dette gikk ikke helt som forventet, siden vi fikk en tilsynelatende løsning hvor en konstant skal være en variabel. Dette går ikke, men vi fatter nytt mot og prøver et triks som brukes i slike tilfeller: Vi øker graden på den gjettede løsningen med èn - altså ønsker vi å la [tex] x_n^p [/tex] være et andregradspolynom. Vi prøver med [tex] x_n^p = An^2 + Bn + C[/tex], og setter dette inn:
[tex] A(n)^2 + B(n) + C - A(n-1)^2 - B(n-1) - C = n[/tex]
[tex] 2*A*n -A +B = n [/tex].
Dette er en likning vi faktsk kan løse! - Siden koeffisienten forran n på venstresiden må matche koeffisienten forran n på høyreside:
Vi får dermet at [tex] A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}[/tex]
Da forteller teorien om løsning av slike likninger at løsningen av (1)
er gitt ved [tex] x_n = x_n^h + x_n^p[/tex], hvor [tex]x_n^h[/tex] er løsningen til den homogene likningen, altså likningen hvor vi satte høyresiden til å være null. Denne fant vi ut at måtte være lik C, og dette gir oss at den totale løsningen er:
[tex] x_n = C + A(n^2) + Bn + C = C + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + 0[/tex]
Når vi i tillegg kjenner til at [tex] x_0 = 0[/tex] ,ser vi at :
[tex] x_0 = C = 0 \Rightarrow C = 0[/tex]
Dermed ender vi opp med at formelen for summen av de n første tallene er gitt ved [tex] x_n = \frac{n^2 + n}{2} [/tex]!!
Dette gikk veldig fort, så det er nok en del feil her og der. Fint om noen gidder å si fra! Hvis det er noe du ikke skjønner, får du bare si fra!
