matematikk.net

Hei, jeg kom over en oppgave der jeg kanskje kunne hatt bruk for å sette inn (n/2) i den sentrale binomialkoeffisienten. Den er slik:

[tex]{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}[/tex]

Om jeg setter inn n/2 får jeg dette:

[tex]{n \choose \frac{n}{2}} = \frac{n!}{(\frac{n}{2})!}[/tex]

Nå gir kalkulatoren min at dette ikke er mulig, men det tviler jeg på siden gammafunksjonen er slik den er. Dessuten mener jeg å ha sett en oppgave tidligere som har benyttet rasjonale binomialkoeffisienter, men jeg husker ikke fremangsmåten. Noen som kan hjelpe meg med denne?

Du kan jo utvide domenet til fakultetsfunksjonen, men det vil jo gå på bekostning av tolkningen av binomialkoeffisienten (antall måter å plukke ut n antall elementer fra en mengde av 2n elementer).

Dersom n er like vil det ikke blir noe problem uansett.

Dersom n er odde definerer man [tex](\frac{n}{2})! = \Gamma ( \frac{n}{2}+1)=\Gamma (\frac{2+n}{2})[/tex] der

[tex]\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}[/tex] og funksjonen skal i tillegg tilfredsstille [tex]\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)[/tex]. (så [tex](\frac{n}{2})![/tex] blir veldefinert for alle heltall n)

Eksempel:



EDIT: [tex]{1 \choose \frac12 } = \frac{1!}{(\frac{1}{2})!^2}= \frac{4}{\pi}[/tex]

[tex](\frac{1}{2})!=\Gamma(\frac12+1)=\frac12\Gamma(\frac12)=\frac12*\sqrt{\pi}[/tex]

Jeg skrev for øvrig feil i det nederste uttrykket mitt. Jeg går utifra at eksempelet ditt skal være:

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac2\pi[/tex]

EDIT: Nei, nå datt jeg ut.

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac{1!}{\frac12!^2} = \frac{1}{\pi}[/tex]

Hoksalon wrote:Jeg skrev for øvrig feil i det nederste uttrykket mitt. Jeg går utifra at eksempelet ditt skal være:

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac2\pi[/tex]

EDIT: Nei, nå datt jeg ut.

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac{1!}{\frac12!^2} = \frac{1}{\pi}[/tex]

Endret forrige post

Takk. Jeg fikk ikke bruk for selve gammafunksjonen i løsningsforslaget mitt, men det var nødvendig for at notasjonen skulle bli korrekt.

Oppgaven siste oppgave fra NMC 2012: Tallet 1 skrives opp på tavlen. Deretter dannes en tallfølge slik: ved hvert trinn erstattes hvert tall a på tavlen med a−1 og a+1; dersom tallet 0 dukker opp, viskes det ut umiddelbart; om et tall forekommer flere ganger, beholdes alle eksemplarer på tavlen. Det betyr at etter 0 trinn står det 1; etter ett trinn står det 2; etter to trinn står det 1, 3; etter tre trinn står det 2, 2, 4, og så videre. Hvor mange tall står på tavlen etter n trinn?

Her fant jeg sekvensen 1,1,2,3,6,10,20,35,70,126,252,462,924, og jeg måtte jukse og sjekke opp sekvensen for å merke meg at annenhvert ledd er det midterste leddet i Pascals trekant (den sentrale binomialkoeffisienten). Videre ser vi at de andre tallene i rekken er halvparten av disse tallene i den sentrale binomialkoeffisienten (du finner de også i Pascals trekant). Jeg kan derimot ikke benytte binomialkoeffisienten slik den normalt framstiles, siden det vil bare vise halvparten av rekken. Jeg kom deretter fram til følgende sekvens:


[tex]x_n = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(\frac{n+2}{2})^2}\cdot (0.5-(0.5)\cdot(-1)^n) + \frac{\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(\frac{n+3}{2})^2}}{2}\cdot(0.5+(-0.5)\cdot(-1)^n[/tex]

Her vil hvert av de to leddene veksle på å bli 0, og begge leddene er basert på den sentrale binomialkoeffisienten (det ville vært enklere å se om det var skrevet uten bruk av gammafunksjonen).

Jeg setter virkelig pris på om du finner en alternativ og bedre formel for det n'te leddet. Jeg har fundert på denne i over et døgn nå, og det må finnes en mye bedre løsning.

Rekken som oppstår: http://imgur.com/Igpbj

EDIT: Og forresten er denne formelen bare basert på en antagelse om at siden de 10 første leddene i Pascals trekant stemmer overens med algoritmen i oppgaven. Har du et tips for hvordan jeg kan bevise at det er samme rekke?