matematikk.net

Vi betrakter grafen [tex]f(x) = e^x[/tex] , x = 2 og [tex]y = e^2[/tex]:


Vi ønsker å finne volumet av den figuren vi får når vi dreier det skraverte området 360 grader rundt x-aksen. Her gir jeg to metoder:

1.
Vi finner først volumet av sylinderen vi får når vi dreier rektangelet rundt x-aksen med integrasjonsgrenser lik x = 0 og x = 2. Da får hver snittflate [tex]r = y = f(2)[/tex], og dessuten blir høyden i sylinderen x = 2. Således finner vi volumet av den figuren vi får når vi dreier f(x) rundt x-aksen, med samme integrasjonsgrenser som for sylinderen. Da får vi:

[tex]V_1 = h \cdot \pi r^2[/tex]

[tex]V_1 = 2 \cdot \pi (e^2)^2[/tex]

[tex]V_1 = 2 \pi e^4[/tex]

[tex]V_2 = \pi \cdot \int_0^\2 \mathrm({e}^{x})^2\,\mathrm{d}x[/tex]

Volumet for den ønskede figuren blir derfor [tex]V = V_1 - V_2[/tex]:

[tex]V = 2 \pi e^4 - (\pi e^4 - \pi e^0)[/tex] = 174,67

2.
I denne metoden lager vi en ny funksjon, [tex]g(x) = e^2-e^x[/tex], som er bestemt av y = f(2). Dersom vi f. eks. setter inn 1 for x, vil vi få en høyde i det skraverte området. Slik er det med alle verdier for [tex]x \in [0,2][/tex], og dersom vi tegner funksjonen, er den her identisk med det skraverte området. Vi tenker oss at vi da dreier om denne flaten rundt x-aksen, og finner volumet at figuren. Da vil g(x) være radius i snittflatene, bestemt av x-verdiene vi setter inn. Da finner vi volumet ved å anvende at [tex]V = \pi r^2[/tex]:

[tex]V = \pi \cdot \int_0^\2 \mathrm(e^2-{e}^{x})^2\,\mathrm{d}x[/tex]

MEN, denne metoden gir at V = 130,62

Spørsmålet er hvilken metode som er riktig, eller om de begge er gale.

Den øverste metoden er riktig. Men her må du huske på at [tex]\int (e^x)^2 \text{d}x = \int e^{2x} \text{d}x = \frac{1}{2}e^{2x}[/tex]. Det ser ut som du har glemt det.

Den nederste metoden blir feil. Hadde du tatt [tex]\pi \int_0^{2} e^2 - (e^x)^2 \text{d}x[/tex] ville det blitt riktig (og essensielt blitt det samme som ovenfor.) Når du tar den ene funksjonen minus den andre og så opphøyer i andre så finner du jo volumet av figuren du får når den nye funksjonen [tex]g(x) = e^2 - e^x[/tex] dreies om y-aksen.

Aha, ser det nå. Takk for oppklaringen =)