matematikk.net

Jeg har nettopp starta opp med R2, og holder på med bestemte integral. Er en liten ting jeg lurer på angående det.


Si vi har oppgaven

[tex]\int_{-2}^{-1}\tex (\frac{2}{x})dx[/tex]


Jeg har oppfattet at man skifter fortegn ettersom grafen går over eller under x-aksen.. Funksjonen til Integralet over vil bevege seg under x-aksen, og dermed bli

[tex]-\int_{-2}^{-1}\tex (\frac{2}{x})dx=[-2ln|x|]_{-2}^{-1}[/tex]


Det jeg lurer på er, om det er en enkel måte å se dette på. Er mye mulig det er en enkel sak jeg overser. Jeg vet at dette ikke dreier seg direkte om integralet, men om funksjonen. Må jeg sette inn x-veriden i funksjonen og se hvor grafen er?

Dette er en av mange ting som kanskje står litt vagt forklart i mange bøker.
Det har seg slik at det begrepet vi kaller Areal, alltid er positivt. Det er altså per definisjon, ikke mulig å ha et negativt areal. Areal er bare en størrelse vi har innført, for å gi et begrep om hvor stort et området er.

Et integral derimot kan godt være negativt. Den mest vanlige metoden å definere et integral på (I hvert fall på videregående) Er som en Riemansum (altså en uendelig sum av rekangler, definert som [tex]\delta x \cdot f(x)[/tex].) Disse er positive over x-aksen, og negative under x-aksen.

Oppsumert kan vi si det slik:
Spør oppgaven deg om å regne ut arealet under en funksjon f. Så må svaret ditt være positivt. Her ber de deg egentlig om å regne ut

[tex]\int_I |f(x)| \,\mathrm{d}x[/tex]

Altså absoluttverdien av funksjonen, lek deg litt i geogebra med dette uttrykket så ser du bedre hva det innebærer. Her er betegner I området du integrerer over.

Derimot, om du bare blir gitt et bestemt integral. Så er det bare å regne det ut, uten å bry seg om funksjonen er under eller over [tex]x[/tex]-aksen.

Lurer du på når en funksjon er større eller mindre enn null, så må du studere ulikheten

[tex]f(x) \, \geq \, 0[/tex],

i et fortegnsskjema. Dette har du helt sikkert hatt om I R1 =)

Nebuchadnezzar wrote:Dette er en av mange ting som kanskje står litt vagt forklart i mange bøker.
Det har seg slik at det begrepet vi kaller Areal, alltid er positivt. Det er altså per definisjon, ikke mulig å ha et negativt areal. Areal er bare en størrelse vi har innført, for å gi et begrep om hvor stort et området er.

Et integral derimot kan godt være negativt. Den mest vanlige metoden å definere et integral på (I hvert fall på videregående) Er som en Riemansum (altså en uendelig sum av rekangler, definert som [tex]\delta x \cdot f(x)[/tex].) Disse er positive over x-aksen, og negative under x-aksen.

Oppsumert kan vi si det slik:
Spør oppgaven deg om å regne ut arealet under en funksjon f. Så må svaret ditt være positivt. Her ber de deg egentlig om å regne ut

[tex]\int_I |f(x)| \,\mathrm{d}x[/tex]

Altså absoluttverdien av funksjonen, lek deg litt i geogebra med dette uttrykket så ser du bedre hva det innebærer. Her er betegner I området du integrerer over.

Derimot, om du bare blir gitt et bestemt integral. Så er det bare å regne det ut, uten å bry seg om funksjonen er under eller over [tex]x[/tex]-aksen.

Lurer du på når en funksjon er større eller mindre enn null, så må du studere ulikheten

[tex]f(x) \, \geq \, 0[/tex],

i et fortegnsskjema. Dette har du helt sikkert hatt om I R1 =)

Hjertelig takk for litt rettledning nebu

I de fleste oppgavene jeg driver på med nå, så skal jeg regne ut arealet av området. Dog også når intervallet/grafen viser seg både over og under x-aksen. Ulikheter har jeg rimelig god kontroll på ja, så det skal jeg sjekke ut. Jeg har også fått med meg det med rektanglene, og at jo flere rektangler vi har, jo mer tilnærmet finner vi likheten til arealet.

Bare husk at et integral ikke tilnærmer arealet av en funksjon! Rett og slett fordi et bestemt integral er negativt når vi befinner oss under [tex]x[/tex]-aksen.

Derimot så vil integralet av absoluttverdien av funksjonen tilnærmet arealet avgrenset av funksjonen og [tex]x[/tex]-aksen.

Men dette er jo bare kursorisk pensum, som du vil bry deg om når du blir eldre