matematikk.net

Dette er ren nysgjerrighet, so humour me please!

Gitt [tex]f(x) = \sin(\frac1x)[/tex], hvor mange ganger vender denne funksjonen rundt x=0? Er det noen måte å finne ut dette på?

Kanskje eg misforstår spørsmålet, men funksjonen oscillerer vel mellom -1 og 1 uendeleg mange ganger når x går mot null?

Ah, ja jeg antok det var det som var tilfellet, for uansett hvor mye jeg zooma, så var grafen bare en vegg

Nei, tror du forsto spørsmålet helt fint.

Det er jo egentlig ganske logisk når jeg ser over det en gang til. 1/x går jo mot uendelig når x går mot null, så oscilleringen vil jo bare få kortere og kortere periode.

Ja, for hver [tex]x = \frac{1}{2k\pi}[/tex] vil [tex]\sin(1/x) = 0[/tex]. Uansett hvor lite intervall rundt x = 0 vi ser på vil vi alltid kunne finne hvor mange slike x-verdier (én for hver svingning) vi bare vil innafor det intervallet, ved å velge store nok k-verdier.

Antall vendepunkter (som du helt sikkert vet) er gitt ved funksjonens dobbelderiverte. Først bestemmer vi hvor eventuelle vendepunkter kan ligge. Fra funksjonens nullpunkter ser vi at alle nullpunkter vil ligge i intervallet

[tex]x \in (-\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi})[/tex]

Du kan selv vise at funksjonen er strengt positiv dersom [tex]x \,>\, \frac{1}{\pi}[/tex] og negativ når [tex]x \,<\,- \frac{1}{\pi}[/tex]. Løser vi

[tex]f^{\prime\prime}(x) \,=\, 0[/tex]

Ender vi opp med likningen

[tex]\frac{2}{u} \,=\, \tan(u)[/tex]

Hvor antakelsen om at [tex]x\,\neq\,0[/tex] ble benyttet. Vendepunktene er gitt som

[tex]x \,=\, \frac{1}{u}[/tex]

som kan tilnærmes (IKKE l'hôptital!) som vil da ligge i området*

[tex]u \in (-\infty,\pi) \cap (\pi,\infty)[/tex]

også lar jeg det være opp til leser å vise at denne likningen har uendelig nullpunkter ; ) Hence [tex]f(x)[/tex] har uendelig mange vendepunkt.

* Litt usikker på området som nullpunktene vil ligge i, er uansett ikke viktig, da det er uendelig mange uansett, hvordan du snur flisa : p