matematikk.net

Hei !

Litt problemer her...

En konsument har nyttefunksjon f(x,y) = x^ay^2, der a>0 er en konstant. Hun skal velge x, y slik at nytten f(x,y) maksimeres gitt budsjettbetingelsen 4x + 3y = 12.
Finn konsumentens tilpasning!

Javel, det er greit. Men hvordan gjør jeg det. Kan forsåvidt det generelle prinsippet med Lagrange, men får det ikke til likevel.

Noen kloke hoder?

Her er det gitt at f(x,y)=x[sup]a[/sup]y[sup]2[/sup] under bibetingelsen g(x,y)=4x+3y-12=0. Lagrange metode gir

(1) [part][/part]f/[part][/part]x = ax[sup]a-1[/sup]y[sup]2[/sup] = 4λ = [part][/part]g/[part][/part]x,

(2) [part][/part]f/[part][/part]y = 2x[sup]a[/sup]y = 3λ = [part][/part]g/[part][/part]y.

Ved å dele likning (2) på likning (1), får vi at

(2x[sup]a[/sup]y)/(ax[sup]a-1[/sup]y[sup]2[/sup]) = (3λ)/(4λ),

dvs. at x=(3ay)/8. Herav følger at

0 = 4x + 3y - 12 = 4[sub]*[/sub](3ay)/8 + 3y - 12 = 3[(a+2)y - 8]/2.

M.a.o. blir y=8/(a+2), som igjen medfører at x=(3ay)/8=(3a)/(a+2). Så maksimalverdien av nyttefunksjonen blir

f( (3a)/(a+2), 8/(a+2) ) = [(3a)/(a+2)][sup]a[/sup][sub]*[/sub][8/(a+2)][sup]2[/sup] = 64[sub]*[/sub](3a)[sup]a[/sup] / (a+2)[sup]a+2[/sup].