matematikk.net

lim [tex]3x/tan4x[/tex]
x->0

Kan noen hjelpe meg?
Vet jeg skal bruke den l'hopitals regelen, men alt er bare stoppet opp nå! [/list]

marita_v wrote:lim [tex]3x/tan4x[/tex]
x->0

Kan noen hjelpe meg?
Vet jeg skal bruke den l'hopitals regelen, men alt er bare stoppet opp nå! [/list]

L'hôpital sier at man kan derivere grenseverdien over og under brøkstreken, for så å få det samme svaret som om man direkte satt inn verdi for x. I dette tilfellet blir grenseverdien 0, som ikke kan defineres som en gyldig grenseverdi.

Hva blir den deriverte av [tex]tan4x[/tex]?

Over brøkstreken får vi jo selvsagt [tex]3[/tex]

Vil det være lov å skrive om tan4x til sin4x her, da cos4x = 1?

I så fall blir oppgaven en god del enklere

blir ikke, ved å bruke Resiproke funksjoner

[tex](tan4x)^{\prime}=\frac{dy}{dx}=4sec^{2}4x[/tex] ?

Kan faktisk løses helt uten bruk av l'hopital;

[tex]\lim_{x \to 0} \tan{4x} = sin4x[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0} \sin{4x} = 4x[/tex]

Som gir oss:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}[/tex]

fuglagutt wrote:Kan faktisk løses helt uten bruk av l'hopital;

[tex]\lim_{x \to 0} \tan{4x} = sin4x[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0} \sin{4x} = 4x[/tex]

Som gir oss:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}[/tex]

Se der

fuglagutt wrote:Kan faktisk løses helt uten bruk av l'hopital;

[tex]\lim_{x \to 0} \tan{4x} = sin4x[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0} \sin{4x} = 4x[/tex]

Som gir oss:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}[/tex]

Du har sikkert tenkt riktig, men dette ville ikke blitt godtatt på eksamen tror jeg. Hva mener du med at [tex]\lim_{x \to 0} \tan(4x) = \sin(4x)[/tex]? (Det skal vel stå lim på høyre side også?), og hva mener du med at [tex]\lim_{x \to 0} \sin(4x) = 4x[/tex]? Husk at en grenseverdi er et tall, ikke et uttrykk med en variabel.

Man kan også gjøre dette med L'Hopital:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)}} = \frac{3}{4} \cdot \lim_{x \to 0} \cos^2(4x) = \frac{3}{4}[/tex].

EDIT: tan(4x), ikke arctan(4x)

Off ja, mente selvfølgelig lim på begge sider

Tror du, med riktig føring, at det ville bli godtatt?

Jeg reagerer litt på at du sier at [tex]\lim_{x \to 0} \sin(4x) = \lim_{x \to 0} 4x[/tex] så bruker at du da kan erstatte sin(4x) (?) med 4x. Jeg kan jo like gjerne si at [tex]\lim_{x \to 0} \sin(4x) = \lim_{x \to 0} x[/tex] (det stemmer jo, de har jo samme grenseverdi), men da blir det plutselig feil om jeg bytter ut sin(4x) med x. (Det du mener er kanskje at sin(4x) "blir som" 4x når x er veldig liten?)

Uten bruk av L'Hopital ville jeg ført det slik:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x \cos(4x)}{\sin(4x)} = \lim_{x \to 0} \cos(4x) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \frac{4x}{\sin(4x)} = 1 \cdot \frac{3}{4}[/tex].

Da har jeg brukt at [tex]\lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin(4x)} = 1[/tex] (en variant av den velkjente [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex]).

Men hvis du reagerer på den, så må det jo også reageres på den første, da man like gjerne kunne skrevet sin(x), som igjen gjør hele argumentet feil ^^.

Ja, jeg mener at den blir som, noen notasjon for dette?

Ja, blir jo feil fra starten av ja, men å bytte ut 1/tan(4x) med sin(4x) blir egentlig ikke feil siden grenseverdien av cos(4x) uansett er 1.

Jeg vet ikke om noen spesiell notasjon for det, men jeg tror uansett ikke jeg ville brukt det som et argument. Nå vet ikke jeg hvilket fag dette er snakk om, og da hvor strengt det er da, men det er vel bare i fysikk jeg har sett at man gjør slikt.

Er det mulig med f.eks.

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{tan4x}{sin4x} = 1[/tex]

og

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin4x}{4x} = 1[/tex]

Hvordan tenker du?

Målet mitt er å vise at de er lik hverandre for små verdier, ikke bare at de går mot samme verdi, nettopp for å kunne gjøre substitusjonene.

Det at kvotienten går mot 1 vil vel være et argument godt nok til å kunne gjøre dette?

Ja, det vil det vel være. Men da kan du vel like godt bruke de kvotientene direkte i utregningen (slik jeg gjorde ovenfor)?