matematikk.net

Hei. Jeg har et lite spørsmål angående rekker.

For å finne ut om en rekke konvergerer, holder det med å bruke variable kvotient-metoden som på vgs. Se på dette eksempelet:

an = 2 + (0.1)^n

Dette gir med variable kvotienter og fortegnslinje at den konvergerer for alle tall over 0, som stemmer med fasiten. Da er konvergensområdet [0,+++].

Kan jeg gjøre det på denne måten eller den måten som er i boka?

Det er mange forskjellige metoder for å finne ut om en rekke konvergerer. I ditt eksempel har du en geometrisk rekke, og disse konvergerer for alle k mindre enn 1 og større enn -1 (ikke 1 og -1 altså). Disse blir sjelden brukt ved eksamen da de er relativt enkle å finne ut om konvergerer eller ikke.

Mer generelt, for å finne ut om en rekke konvergerer kan du gjøre en rekke tester. Du kan starte med å sjekke:

[tex]\lim_{n \to \infty}a_n[/tex]

Dersom denne grensen ikke er 0 har vi garantert divergens. Dette er fordi dersom det n'te leddet ikke er 0 vil vi aldri kunne komme til en konstant grense, for et ledd til vil få oss vekk fra summen vi hadde ved det forrige leddet.

Videre finnes det flere tester, blant de greieste er integraltesten; Dersom integralet (fra startverdi til uendelig) har en grense vil også summen ha en grense. (MERK: Denne grensen er ikke nødvendigvis den samme som grensen til integralet).

Det er mange flere tester, men de kan du få finne selv;
Sammenlikningstest
n'te-rottest
Forholdstest
P-rekketest (Kan vises med integraltesten)

Kommer ikke på flere i øyeblikket

Når du har kommet et stykke på vei kan du også lese om absolutt konvergens. Ble kanskje litt mye på en gang, men du får velge og vrake det som passer. Det er også verdt å nevne at mange ganger kan flere tester brukes på samme rekke, men det er stort sett en som er lettere enn en annen!

Takk for hjelpen. Jeg hadde egentlig tenkt å hoppe over det og gå rett til Taylor-rekker, men skal nå lese over det, samt forsøke å få gjort noen oppgaver på hver.

Synd det ikke står noe om det i Rottmann.

Joda, de står på side 110-111 i Rottmann, dog ikke så enkelt å forstå