matematikk.net

Sitter med en oppgave her og har noen spørsmål, selv om jeg kan se på en løsning ettersom oppgaven er gml eksamensoppgave

Oppgave nr. 6 b):

La [tex]f(x)=x^3[/tex]. Gi et eksempel på et intervall hvor f er uniformt kontinuerlig og et hvor f ikke er uniformt kontinuerlig. Begrunn dine valg av eksempler.

Første halvdel er grei. kontinuerlige funksjoner er uniformt kontinuerlig på lukkede intervaller, siden f(x)=x^3 kontinuerlig på R, velge hvilket som helst lukket intervall, og få at f er uniformt kontinuerlig på intervallet.

For eksempel på intervall m. f ikke uniformt kontinuerlig har løsningen valgt [0,\infty), og sat epsilon lik 1. Hvordan kan man se hva epsilon her bør være? Når de har valgt 1, ville vel også en del andre verdier fungere (hvilke?)?

Hvorfor bruker man grenseverdien av f(x+(\delta/2))-f(x) når går mot uendelig? Spesielt hvorfor \delta/2?




Løsningsforslag (scroll til 6 b):
http://math.uib.no/adm/Eksamen/content/ ... ksamen.pdf

1 er en veldig vanlig verdi å sette inn for epsilon om en skal vise at ting går galt. Det er bare for å ha noe konkret å jobbe med. Det er ikke noen spesiell grunn annet enn det for å velge epsilon lik 1. Andre verdier ville også fungert. Poenget er at du ser på enhver verdi større enn 0 og ønsker å finne en delta som gjør implikasjonen sann. Så det er egentlig helt likegyldig hva du velger.
Vi har antatt at [tex]|x-y| < \delta[/tex], det vi så gjør er å se på verdier innenfor det intervallet. Hvis du tar en vilkårlig x vet du at [tex]x+\frac{\delta}{2}[/tex] vil være innen delta i avstand fra x (du kunne selvfølgelig hatt noe annet enn 2 i nevner). Med andre ord tilfredsstiller disse verdiene den første ulikheten. Vi putter så disse verdiene inn i funksjonsuttrykkene og ser hva som skjer når x blir "stor". Det vi ser er at uansett hvor liten avstand vi kan ha mellom innputt blir avstanden mellom outputt uendelig stor. Spesielt blir den langt større enn 1, og vi har vist at funksjonen ikke er uniformt kontinuerlig på [0, infty).

Ok. Takker