matematikk.net

En sylinderformet hermetikkboks skal romme 1 dm3 ( dvs. 1 liter ). La h
være høyden til boksen og r være radius i grunnflaten. Bestem r og h slik at materialforbruket blir minst mulig ( dvs. at overflatearealet til boksen blir
minst mulig ).

---Kan noen gi meg et bra svar på denne oppgaven??

Volumet V av boksen blir

(1) V = [pi][/pi][sub]*[/sub]r[sup]2[/sup][sub]*[/sub]h

mens overflatearealet A blir

(2) A = 2[pi][/pi][sub]*[/sub]r[sup]2[/sup] + 2[pi][/pi][sub]*[/sub]r[sub]*[/sub]h.

Nå er V=1, så h=1/([pi][/pi]r[sup]2[/sup]) ifølge (1). Erstatter vi h med denne funksjonen i r i (2), får vi at

(3) A = 2[pi][/pi][sub]*[/sub]r[sup]2[/sup] + 2[pi][/pi][sub]*[/sub]r / ([pi][/pi]r[sup]2[/sup]) = 2[pi][/pi][sub]*[/sub]r[sup]2[/sup] + (2/r).

Ved å derivere A mhp. r og deretter bestemme nullpunktene til den deriverte, kan du finne minimalverdien av A.