La epsilon>0 være gitt. Vi ønsker å vise at det eksisterer en delta>0 for alle x og y slik at:
[tex]|x-y| < \delta \Leftarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex].
Vi ser på det siste uttrykket nærmere:
[tex]|f(x)-f(y)| = \left| \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+y^2} \right| = \left| \frac{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \right| = \frac{|x-y| |x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)}[/tex]
Det siste følger siden nevneren er et produkt av to positive tall, i.e. alltid positivt avhengig av x og y. Triangelulikheten gir:
[tex]\frac{|x-y| |x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)} \leq |x-y| \frac{(|x|+|y|)}{(1+x^2)(1+y^2)}[/tex]
Igjen, siden nevneren alltid er positiv, og begge faktorene alltid er større enn 1 kan vi fint ta vekk den ene i hver brøk og sitte igjen med:
[tex]|f(x)-f(y)| \leq |x-y| \left( \frac{|x|}{1+x^2} + \frac{|y|}{1+y^2} \right)[/tex]
Hvis vi ser på hva vi har inne i parantesen ser vi at vi har to (virkelig bare en) funksjon og vi kan lett finne ut når den er på sitt største. Resten følger greit derfra.
