matematikk.net

Hei!

Hvis oppgaven sier:

[tex]P(x): x^4-5x^2+4[/tex]

Vis at [tex](x^2-1)[/tex] er en faktor i P(x), uten å utføre en polynomdivisjon.

Kan man da gjøre følgende:

[tex](x^2-1) = x^2=1 =[/tex] [symbol:rot][tex]x^2[/tex] = [symbol:rot] [tex]1 = x=1[/tex] og bruke svaret (x = 1) til å vise at [tex](x^2-1)[/tex] er en faktor i P(x)?

Det kan se ut som om du bruker likhetstegn der det helst skal være ekvivalenspiler om noe. Denne bruken er katastrofalt feil og gjør at det du skriver blir vanskelig å tyde.
Det du har oppgitt er to polynom. For at det av lavere grad skal være en faktor i det andre må de dele røtter. Du må derfor finne røttene til lillepolynom og vise at de passer inn i storepolynom. Du er på god vei til å finne røttene til det lille, men du mangler en rot. Hvis [tex](x^2-1)=0[/tex] er x=1 en løsning som du sier, men det finnes en til.

wingeer wrote:Det kan se ut som om du bruker likhetstegn der det helst skal være ekvivalenspiler om noe. Denne bruken er katastrofalt feil og gjør at det du skriver blir vanskelig å tyde.
Det du har oppgitt er to polynom. For at det av lavere grad skal være en faktor i det andre må de dele røtter. Du må derfor finne røttene til lillepolynom og vise at de passer inn i storepolynom. Du er på god vei til å finne røttene til det lille, men du mangler en rot. Hvis [tex](x^2-1)=0[/tex] er x=1 en løsning som du sier, men det finnes en til.

Tusen takk!
Vet dessverre ikke hvordan man lager andre tegn enn de som står til vestre når man poster, men du mener det skal stå ekvivalenspiler alle de stedene jeg skrev = før og etter x=1 osv? Da tror jeg vi er enig

Den andre er [tex]x=-1[/tex]. Her har jeg rett og slett glemt å tenke faktorisering - trenger bare å bruke andregradsformelen (på lillepolynomet), og får da:[tex] x=1[/tex] og [tex]x=-1[/tex].

Dumt spørsmål: men jeg ser at både [tex]P(1) og P(-1) = 0[/tex]. Om f.eks èn av disse ikke gikk, da ville ikke lillepolynom vært en faktor i P(x)?

Riktig
Riktig
Oooog riktig!
Dersom bare 1 hadde vært en rot ville (x-1) vært en faktor og (x+1) om motsatt.

Har en annen oppgave jeg er litt usikker på. Jeg har forsovidt kommet frem til riktig svar, men er usikker på når man skal bruke andregradsformelen og den andre metoden.

[tex]P(x) = x^4-8x^2+15[/tex]

- vis at divisjonen [tex]P(x) : (x^2-3)[/tex] går opp.
Her utførte jeg vanlig polynomdivisjon og fikk ingen rest = derfor går den opp.

- faktoriser[tex] P(x)[/tex] i fire linenære faktorer.
Her står jeg mellom to måter. Jeg fikk som svar på polynomdivisjonen = [tex]x^2-5[/tex].
Samtidig har jeg funnet ut at [tex]x^2-3[/tex] er en faktor. Da tenkte jeg først at jeg måtte bruke andregradsformelen på begge disse og vil da få svar. Men det jeg ser er at f. eks om jeg gjør dette på:

[tex]x^2-5 [/tex] får jeg [symbol:plussminus] [symbol:rot] [tex]20/2[/tex] (kvadratroten av 20 )...

Det samme blir det med [tex](x^2-3)[/tex] blir [symbol:plussminus] [symbol:rot] [tex]12/2[/tex]

Det blir vel ikke rett?

Det ser ut som om du har tenkt helt rett i alle fall.
Du har at
[tex]P(x) = (x^2-3)(x^2-5)[/tex].
Nå kan du løse disse ved andregradsformel (keitete og kjedelig) eller du kan se på de og gjenkjenne at [tex](x+a)(x-a)=x^2-a^2[/tex]. Med andre ord er røttene [tex]\sqrt{3},\sqrt{5},-\sqrt{3},-\sqrt{5}[/tex].
Som for øvrig er akkurat det du har kommet frem til ved bruk av andregradsformelen, du har bare ikke faktorisert ut alt. F.eks. er [tex]\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = sqrt{2^2}\sqrt{3} = 2 \sqrt{3}[/tex]. Og lignende for de andre.

Kan du forklare hvordan du kom frem til: [tex]\sqrt{3},\sqrt{5},-\sqrt{3},-\sqrt{5}[/tex]?

Jeg tenkte noe slikt: ( ekvivalenspil: <=> )

[tex](x^2-3) <=> x^2=3 <=> \sqrt{x^2} = \sqrt{3} <=> x = \sqrt{3}[/tex]. Kan jeg bruke en slik metode?

Slenger inn enda et spørsmål her, så slipper jeg å lage så mange nye tråder

Hvis en oppgave sier: løs ulikheten ved regning
- hva innebærer det? Normalt pleier det å stå "løs ulikheten ved bruk av fortegnslinjer".

Hvis ulikheten er:

[tex]x+6/x+2 > x[/tex]

- det jeg har tenkt er å flytte [tex]x[/tex] over til venstre og få på samme brøkstrek, og får da [tex] > 0[/tex] på høyre side.
- da får jeg nok en andregradsligning over brøkstreken, ettersom jeg ender opp med å gange [tex]x[/tex] med [tex]x+2[/tex]. Denne kan jeg da løse ved hjelp av andregradsformelen.
- men det jeg ikke skjønner (om jeg har tenkt rett så langt), er hva mer jeg skal gjøre? Ettersom jeg skal løse ulikheten ved hjelp av regning (og ikke fortegslinjer)..

Å benytte seg av fortegnslinjer går inn under "ved regning"

Vektormannen wrote:Å benytte seg av fortegnslinjer går inn under "ved regning"

Ah, så bra! Tusen takk!