matematikk.net

Hei! Lurer på om jeg kan få et lite tips på denne oppgaven?

Anta at [tex]{\bf a}_1, {\bf a}_2 \in \mathbb{R}^2 ({\bf a}_1, {\bf a}_2 \neq {\bf 0})[/tex] ikke er parallelle, og la [tex]{\bf b}_1, {\bf b}_2[/tex] være to vektorer i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Vis at de finnes nøyaktig en linæeravbildning [tex]{\bf T} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] slik at [tex]{\bf T}({\bf a}_1) = {\bf b}_1[/tex] og [tex]{\bf T}({\bf a}_2) ={\bf b}_2.[/tex]

Beklager rotet, fikk ikke dette til helt...

Hvis du skal skrive tekst i tex, så må du bruke \text{} ellers blir det formatert helt ræva.

Sånn fikset det opp.

La x være en vikårlig vektor i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Vis at T(x) er entydig bestemt. (gjennom å finne et eksplisitt uttrykk for T(x) )

plutarco wrote:La x være en vikårlig vektor i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Vis at T(x) er entydig bestemt. (gjennom å finne et eksplisitt uttrykk for T(x) )

Et eksplisitt utrykk er jo f.eks. [tex]{\bf T}({\bf x}) = {\bf T}(r_1{\bf a_1} + r_2{\bf a_2}) = r_2{\bf T}({\bf a_2}) + r_1{\bf T}({\bf a_1})[/tex], men hvordan går jeg dra det til å vise at T er entydig bestemt?

Vel det blir jo [tex]r_1{\bf b_1} + r_2{\bf b_2}[/tex]. Betyr det at lineæravbildningen er entydig bestemt og at det finnes kun én slik lineæravbildning?

Mattefryd wrote: Et eksplisitt utrykk er jo f.eks. [tex]{\bf T}({\bf x}) = {\bf T}(r_1{\bf a_1} + r_2{\bf a_2}) = r_2{\bf T}({\bf a_2}) + r_1{\bf T}({\bf a_1})[/tex], men hvordan går jeg dra det til å vise at T er entydig bestemt?

Vel det blir jo [tex]r_1{\bf b_1} + r_2{\bf b_2}[/tex]. Betyr det at lineæravbildningen er entydig bestemt og at det finnes kun én slik lineæravbildning?

Ja, det er riktig. Årsaken er at [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] utgjør en basis for [tex]\mathbb{R}^2[/tex] (fordi de er ikkeparallelle og ulik 0), altså vil det for enhver x eksistere unike skalarer [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] slik at [tex]x=r_1a_1+r_2a_2[/tex]. (pga. at [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] er lineært uavhengige)

Ah! Takk for svar!