matematikk.net

Hei!

Jeg klør meg i hodet over denne oppgaven.

Vis at (a*cos(t), b*sin(t)) er ellipsen som oppfyller 1 = (x^2)/a + (y^2) / b.

Jeg skulle gjerne ha vist hva jeg har forsøkt så langt, men det har bare vært å klø meg i hodet og lite annet, dessverre.

Jeg er usikker på hvordan jeg kan vise at de er like. Er det mulig å vise at de oppfører seg på samme måte (via for eksempel implisitt derivasjon)?

Jeg hadde satt stor pris på all hjelp! Takk

Jeg har ikke noe spesiell erfaring, men du kan vel kanskje definere y=b*sin(t)?

Når jeg tenker meg om, ville det kanskje være galt, siden b er en vesentlig faktor andre steder, men det er jo en tilnærming...

sikker på det ikke er:

[tex]1 = (x/a)^2 + (y/b)^2[/tex]
slik at
[tex]\sin^2(t)+\cos^2(t)=1[/tex]

dan wrote:Hei!

Jeg klør meg i hodet over denne oppgaven.

Vis at (a*cos(t), b*sin(t)) er ellipsen som oppfyller 1 = (x^2)/a + (y^2) / b.

Jeg skulle gjerne ha vist hva jeg har forsøkt så langt, men det har bare vært å klø meg i hodet og lite annet, dessverre.

Jeg er usikker på hvordan jeg kan vise at de er like. Er det mulig å vise at de oppfører seg på samme måte (via for eksempel implisitt derivasjon)?

Jeg hadde satt stor pris på all hjelp! Takk :)

Som Janhaa sier skal a og b være opphøyd i 2 i ligningen for ellipsen.

For å vise at alle koordinater på formen [tex](a\cos(t), b\sin(t))[/tex] beskriver en ellipse, la først

[tex]f(t) = (a\cos(t), b\sin(t))[/tex] med [tex]t\in [0,2\pi)=U[/tex].

Altså er [tex]f[/tex] en funksjon fra [tex][0,2\pi)[/tex] inn i [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

La V være delmengden av [tex]\mathbb{R}^2[/tex] bestående av alle par (x,y) som tilfredsstiller ellipseligningen.

Det vi nå må vise er at f(U)=V. (bildet av intervallet U under funksjonen f er lik ellipsen)

Måten å vise at to mengder er like på:

1. [tex]f(U)\subseteq V[/tex]

2. [tex]V\subseteq f(U)[/tex].

1. La [tex]z\in f(U)[/tex]. Da fins det en t i U slik at [tex]z=(a\cos(t), b\sin(t))[/tex], og vi ser kjapt at z tilfredsstiller ellipseligningen.

2. La [tex]z=(x,y)\in V[/tex]. Da tilfredsstiller x og y ellipseligningen. Du må da vise at det fins en t i U slik at [tex](x,y)=(a\cos(t), b\sin(t))[/tex].
Vi vet at [tex]a\cos(t)[/tex] tar alle verdier mellom -a og a, Ser vi på ellipseligningen er begge leddene på høyresida mellom 0 og 1, og [tex]\frac{x}{a}[/tex] er da mellom -1 og 1. Altså må det eksistere en t slik at [tex]x=a\cos(t)[/tex]. Fra ellipseligningen får vi ved å bruke litt trigonometri at [tex]y=\pm b\sin(t)[/tex]. For tilfellet [tex]y=-b\sin(t)[/tex] kan vi absorbere det negative fortegnet inn i sin(t) og la [tex]t\to -t[/tex].

I siste linje har jeg brukt at [tex]\cos(-t)=\cos(t)[/tex] og [tex]\sin(-t)=-\sin(t)[/tex]

Yes!

Takk, til dere begge to!