matematikk.net

Dette steget er hentet fra en oppgave i Nebus wiki, og kan vel kanskje kalles en "gråte og spille banjo"-oppgave. Eneste jeg mangler er banjoen

Dette er steget jeg ikke skjønner:

[tex]G\left( u \right) = \frac{{{u^2}}}{{{{\left( {{u^2} - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{{{u^2}}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = \frac{A}{{u - 1}} + \frac{B}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}} + \frac{C}{{u + 1}} + \frac{D}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}} \right] [/tex]

I nevneren er det fire faktorer, altså: [tex](u+1)(u+1)(u-1)(u-1)[/tex]

Mens etter oppspaltingen er det seks faktorer? Jeg regnte ut venstre side, og kom fram til G(u), men jeg skjønner bare ikke helt hvordan man skal sette det opp. Hvis jeg skulle tatt det steget, ville jeg antakeligvis gjort slik ( hehe ) :

[tex]G\left( u \right) = \frac{{{u^2}}}{{{{\left( {{u^2} - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{{{u^2}}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = \frac{A}{{u - 1}} + \frac{B}{{{{\left( {u - 1} \right)}}}} + \frac{C}{{u + 1}} + \frac{D}{{{{\left( {u + 1} \right)}}}}} \right] [/tex]

Men det blir jo feil, siden A og B får fellesnevner, i tillegg til C og D som også får fellesnevner. Da blir vel oppgaven umulig å løse (?). Så hvordan skal jeg tenke her?

Ta vekk parentesene så stemmer det fint, du får 4 faktorer ja =)


[tex]G\left( u \right) = \frac{{{u^2}}}{{{{\left( {{u^2} - 1} \right)}^2}}} = {\frac{{{u^2}}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = \frac{A}{{u - 1}} + \frac{B}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}} + \frac{C}{{u + 1}} + \frac{D}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}} [/tex]

Nei, tror ikke jeg henger helt med her ^^

[tex] \frac{A}{{u - 1}} + \frac{B}{{{{\left( {u - 1} \right)}}}} \neq \frac{A}{{u - 1}} + \frac{B}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}} [/tex]

Jeg skrev det som er på venstre side.

Nebuchadnezzar wrote:Ta vekk parentesene så stemmer det fint, du får 4 faktorer ja =)


[tex]G\left( u \right) = \frac{{{u^2}}}{{{{\left( {{u^2} - 1} \right)}^2}}} = {\frac{{{u^2}}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = \frac{A}{{u - 1}} + \frac{B}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}} + \frac{C}{{u + 1}} + \frac{D}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}} [/tex]

Må innrømme at heller ikke jeg ser dette

Spiller litt på banjoen imens:

"Uffa uffa meg, det fins potetej på badet, stakkars stakkars meg, det fins potetej på badet "

Forresten, hva/hvor er Nebus wiki?

Vet ikke om det er wikien, men det er det priorterte innlegget i dette forumet av Nebu.

Dessverre ser jeg ikke helt hva problemet er? Det er to likhetstegn i første innlegg. Videre så er

[tex](u^2-1)^2 = [(u-1)(u+1)]^2 = (u-1)^2 (u+1)^2[/tex]

og fra teorien om delbrøkoppspalting så vet vi at om vi har et uttrykk på formen

[tex]\frac{1}{(x-b)(x-a)^n}[/tex]

så er det lurt å tippe på oppspaltingen

[tex]\frac{1}{(x-b)(x-a)^n} \,=\, \frac{a_1}{(x-b)} \,+\, \sum_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{(x-a)^i}[/tex]

http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/P ... Real_Roots.

Og bare for å generealisere inn i det latterlige, om vi har

[tex]\frac{Q(x)}{(x-b_1)^{c_1}(x-b_2)^{c_2} \ldots (x-b_u)^{c_u}} = \sum_{i=1}^{u} \sum_{j=1}^{c_i} \frac{a_{k+j}}{(x-b_i)^j}[/tex]

Der [tex]k = \sum_{h=0}^{i-1} c_{h}[/tex], og definerer [tex]c_0 = 0[/tex], og graden til [tex]Q(x) < u[/tex] slik at alt skal gå bra. Stemmer om jeg ikke har blingset heeelt.

Nebuchadnezzar wrote: og fra teorien om delbrøkoppspalting så vet vi at om vi har et uttrykk på formen

[tex]\frac{1}{(x-b)(x-a)^n}[/tex]

så er det lurt å tippe på oppspaltingen

[tex]\frac{1}{(x-b)(x-a)^n} \,=\, \frac{a_1}{(x-b)} \,+\, \sum_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{(x-a)^i}[/tex]

Hvorfor i huleste er ikke dette gjennomgått i R2?

Må fundere litt på dette...

mikki155 wrote:

Nebuchadnezzar wrote: og fra teorien om delbrøkoppspalting så vet vi at om vi har et uttrykk på formen

[tex]\frac{1}{(x-b)(x-a)^n}[/tex]

så er det lurt å tippe på oppspaltingen

[tex]\frac{1}{(x-b)(x-a)^n} \,=\, \frac{a_1}{(x-b)} \,+\, \sum_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{(x-a)^i}[/tex]

Hvorfor i huleste er ikke dette gjennomgått i R2?

Må fundere litt på dette...

Fordi Nebu har en tendens til å gjøre ting 1000x mer komplisert enn det trenger å være

Er det mulig at noen kanskje kunne gått gjennom det, eller henvist til et nettsted der det blir forklart? Viste læreren min problemet, og han skrev den ned. Men det er ikke sikkert han får tid til å se på det.

Du så ikke linken jeg skrev to poster opp? Uansett kan det være en idè å søke etter

"repeated roots partial fraction expansion"

Da burde det meste dukke opp =)

Jeg så det du postet, men det var for lite forklart. Har sjekket litt rundt på google, og har kanskje blitt litt klokere, men problemet mitt er:

Hvorfor hver lineære faktor [tex](ax + c)^m[/tex] må gjentas m ganger i en delbrøkoppspalting? Altså at man for hver lineære faktor får:

[tex]\frac {A_1}{(ax + c)} + \frac {A_2}{(ax + c)^2} + ... + \frac {A_m}{(ax + c)^m} = \sum_{i=1}^m \frac {A_i}{(ax + c)^i}[/tex]

Det er vel kanskje beviset, eller forklaringen for dette jeg spør om. Selv om jeg sikkert virker ganske innpåsliten

Noe fullgodt svar eller bevis har jeg ikke, og om jeg antar rett er nok beviset for det et godt stykke over videregående nivå. Jeg kan dog prøve å gi deg en intuitiv forklaring.

Anta at vi ønsker å bestemme delbrøksoppspaltingen til følgende uttrykk

[tex]\frac{1}{(x-1) \cdot x^2}[/tex]

Nå må vi anta at uttrykket kan deles opp, og videre må vi ha ett ledd med [tex]x^2[/tex], og ett ledd med [tex](x-1)[/tex], ellers får vi ikke nevneren når vi setter på felles brøk.
Vi gjetter altså på at uttrykket er på formen

[tex]\frac{1}{(x-1) \cdot x^2} \, = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2}[/tex]

Hvor [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er reelle koeffisienter. Ganger vi med teller på begge sider fås

[tex]1 \, = \, A x^2 \, + \, B (x-1)[/tex]

Og her ser vi at dette er en likning som ikke har noen løsning. Problemet blir at for å få [tex]1[/tex] må åpenbart [tex]A = 0[/tex], men dersom vi eksempelvis lar [tex]B = -1[/tex], står vi igjen med en [tex]x[/tex] som vi ikke klarer å bli kvitt. Vi kan og prøve med å la [tex]B = x[/tex], men da er ikke lengre B en konstant, og det blir ikke riktig om vi setter på fellesnevner. Derimot om vi hadde tippet på

[tex]\frac{1}{(x-1) \cdot x^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x^2}[/tex]

Så slipper vi dette problemet, om vi følger de vanlige stegene. Så lar jeg det være opp til lesere å verifisere at gjetningen er riktig
Det vi da har vist er at det finnes brøker, som ikke kan deles inn på måten ovenfor. Mens om vi har med alle faktorene, så blir det riktig.

Moralen er vel at for å klare å skape alle mulige polynomkombinasjoner trengs det så mange ledd, og av ulik grad. At dette faktisk er tilfellet, og er det minste antallet vi trenger, er noe jeg ikke vil gi meg ut på å bevise.

EDIT: Her er to lenker til bevis, var litt vankelig å finne.

http://www.m-hikari.com/imf/imf-2012/29 ... 2-2012.pdf

http://caicedoteaching.wordpress.com/20 ... osition-2/

Som sagt er over videregående nivå, men krever ikke noe særlig mer enn litt talltoeri, og et innføringskurs i lineær algebra.

Bra forklart som alltid, Nebu! Forstod det nå =)

Skal kikke litt på bevisene, men de virka tungvindte, ja.