matematikk.net

Hei, har en oppgave hvor jeg skal finne enhetstangentvektoren T(t) til en ellipse.

Ellipsen er gitt med ligningen (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1

r(t) = [a*cos(t), b*sin(t)]
r'(t) = [-a*sin(t), b*cos(t)]
r''(t) = [-a*cos(t), -b*sin(t)]

Når det gjelder enhetstangentvektoren er dette dét jeg har kommet frem til:

[(-a*sin(t)/ [symbol:rot] (-a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t)), (b*cos(t))/ [symbol:rot] (-a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t))]

Har problemer med å forkorte det noe videre, har kommet frem til at det eventuelt kan bli

[-(a*sin(t))/(a*sin(t)+b*cos(t)), (b*cos(t))/(a*sin(t)+b*cos(t))]

er dette riktig?

Hvis ikke, hva kan jeg gjøre annerledes?

Du har jo at

[tex]x=a\cos(t)[/tex]
[tex]y=b\sin(t)[/tex], så ellipsen er parametrisert ved

[tex]\vec{r}(t) = (x,y) =(a\cos(t),b\sin(t))[/tex].

Tangentvektoren er da parallell med den deriverte av posisjonsvektoren mhp parameteren t:

[tex]\vec{r}^,(t) = (-a\sin(t), b\cos(t))=(-\frac{a}{b}y, \frac{b}{a}x)[/tex].

Enhetstangentvektoren fremkommer ved å normalisere, dvs. dele på lengden av vektoren selv: Lengden er

[tex]|\vec{r}^,|=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}y^2+\frac{b^2}{a^2}x^2}[/tex],

så enhetstangentvektoren blir

[tex]\frac{\vec{r}^,}{|\vec{r}^,|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}y^2+\frac{b^2}{a^2}x^2}}(-\frac{a}{b}y, \frac{b}{a}x)[/tex] for koordinater x,y som tilfredsstiller ellipseligningen.