matematikk.net

Hei!

Vi har en sirkel med sentrum i origo, og radius b. Utenpå denne sirkelen har vi et hjul som ruller rundt, slik at utsiden av hjulet ruller på utsiden av sirkelen. Hjulet har radius a. Vi begynner (t=0) å rulle i punktet (b,0). Da skal hjulet rulle oppover mot venstre.

Oppgaven er å finne en parametrisering for et punkt på utsiden av hjulet, som også har koordinator (b,0) ved t=0.

Hva har du forsøkt selv?

Hvis du har problemer med å begynne, prøv å dele opp oppgaven.

1. Finn en parameterisering til midtpunktet av hjulet.

2. Hva er omdreiningshastigheten til hjulet?

3. ...

Smart det der!

Midtpunktet for hjulet er jo ((a+b)cos(t),(a+b)cos(t)).

Punkt på hjulet i forhold til sentrum hjul er (acos(k),asin(k), der k er vinkelen mellom vektoren som går ut mot midtpunktet av hjulet og den som går fra midtpunktet av hjulet og ut til punktet på utsiden.

Omdreiningshastigheten er (a+b)/a, så k=(a+b)/at.

Da er en parametrisering av punktet på hjulet:

x(t) = (a+b)cos(t) - acos((a+b)/at)
y(t) = (a+b)sin(t) - asin((a+b)/at).

Der jeg har tatt vektoren ut mot sentrum av hjulet og trukket fra vektoren fra sentrum av hjulet og ut.

Dette stemmer jo overens med fasiten, så jeg er fornøyd.

PS: En ser lett at en må trekke fra og ikke legge til siste leddet, om man tegner det opp og forestiller seg hjulet som enhetssirkelen - vektorene fra midten av hjulet og ut må ha motsatt fortegn (i forhold til den ut mot setrum av hjulet).