matematikk.net

Hei.
Har følgende oppgave:

Vi vil studere en enkel modell for et isolasjonsmateriale. To vegger har areal A og temperaturene [tex]T_1[/tex] og [tex]T_2[/tex] med [tex]T_1 >T_2[/tex]. Mellom veggene er det vakuum og vi antar at veggene er sorte legemer.

b) Vi setter nå inn en tynn sort plate mellom de to veggene. Anta at plata er fullstendig isolert fra resten av verden og i termisk likevekt med strålingen fra de to veggene. Finn temperaturen til plata i dette tilfellet.

c) Vi setter inn n plater mellom veggene, hva blir nå varmestrømmen?

Oppgave b løses greit. Oppgave c byr derimot på større problemer. Kan noen hjelpe meg?

bruker du "fourier's law of heat transfer" mhp konduksjon på b)?

Hvis du har n plater, så har vel tykkelsen => [symbol:uendelig] , slik
at varmestrømmen går mot null...?

Jeg bruker ikke "fourier's law of heat transfer".

Jeg løser b på følgende måte:

Varmestrøm fra den varme siden til platen:
[tex]P = \sigma \cdot A \cdot T_1^4 - \sigma \cdot A \cdot T_{\alpha}^4[/tex]
[tex]P = \sigma \cdot A \cdot (T_1^4 - T_{\alpha}^4)[/tex]

Varmestrøm fra platen til den kalde siden:
[tex]P = \sigma \cdot A \cdot T_{\alpha}^4 - \sigma \cdot A \cdot T_2^4[/tex]
[tex]P = \sigma \cdot A \cdot (T_{\alpha}^4 - T_2^4)[/tex]

Ettersom platen er i termisk likevekt:
[tex]\sigma \cdot A \cdot (T_{\alpha}^4 - T_2^4) = \sigma \cdot A \cdot (T_1^4 - T_{\alpha}^4)[/tex]
[tex]T_{\alpha}^4 - T_2^4 = T_1^4 - T_{\alpha}^4[/tex]
[tex]2 \cdot T_{\alpha} ^4 = T_1^4 + T_2^4[/tex]
[tex]T_{\alpha} ^4 = \frac{1}{2} \cdot (T_1^4 + T_2^4)[/tex]

Dette stemmer i henhold til fasiten.

I c er jeg ute etter et uttrykk for varmestrømmen med n som variabel. Fasiten har følgende uttrykk:

[tex]\frac{1}{n + 1} \cdot \sigma \cdot A \cdot (T_1^4 - T_2^4)[/tex]


Hvordan kommer jeg frem til dette?

Jeg "leste feil", er så vant med varmestrøm med konduksjon gjennom vegger. Her er det imidlertid

http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan%E2% ... tzmann_law

ja!

Greia er vel å bruke likninga du fant for
[tex]T(\alpha)^4[/tex]og utvide den til n plater, og sette den inn i Stefan Boltzmann law.
For 1 plate så blir bidraga mellom T(1) og T(2) fordelt, for 2 plater blir "vekta" av T(1) større enn T(2)...osv.
Finn ett uttrykk for T(alfa) vha n og sett inn i:

[tex]P=\sigma*A*(T_1^4-T(\alpha)^4)[/tex]

[tex]T_{\alpha}[/tex] er altså gitt ved:

[tex]T_{\alpha}^4 = \frac{n}{n+1} \cdot T_1^4 + \frac{1}{n+1} \cdot T_2^4[/tex]

Hvordan kommer jeg frem til dette uttrykket? [tex]T_{\alpha}[/tex] er temperaturen til platen lengst til venstre (nærmest den varmeste siden).

1npu7 wrote:[tex]T_{\alpha}[/tex] er altså gitt ved:
[tex]T_{\alpha}^4 = \frac{n}{n+1} \cdot T_1^4 + \frac{1}{n+1} \cdot T_2^4[/tex]
Hvordan kommer jeg frem til dette uttrykket? [tex]T_{\alpha}[/tex] er temperaturen til platen lengst til venstre (nærmest den varmeste siden).

OK, den er grei. Jeg trodde du skulle utlede dette. Jeg klarte det også, ved å sette opp noen termiske likevekter, og titte på mønsteret som framkom... da fås nemlig: [tex]T_{\alpha}^4 = \frac{n}{n+1} \cdot T_1^4 + \frac{1}{n+1} \cdot T_2^4[/tex]
=====
ellers

[tex]P=\sigma*A*(T_1^4-T_a^4)=\sigma*A*(\frac{n+1}{n+1}T_1^4-(\frac{n}{n+1}T_1^4+\frac{1}{n+1}T_2^4))[/tex]

[tex]P=\sigma*A*(T_1^4-T_a^4)=\sigma*A*(\frac{T_1^4}{n+1}-\frac{T_2^4}{n+1})[/tex]

[tex]P=\sigma*A*(\frac{1}{n+1})*(T_1^4 - T_2^4)[/tex]

1npu7 wrote:[tex]T_{\alpha}[/tex] er altså gitt ved:
[tex]T_{\alpha}^4 = \frac{n}{n+1} \cdot T_1^4 + \frac{1}{n+1} \cdot T_2^4[/tex]
Hvordan kommer jeg frem til dette uttrykket? [tex]T_{\alpha}[/tex] er temperaturen til platen lengst til venstre (nærmest den varmeste siden).

ok, det er jo det du spør om...skal titte på dette...har kladda det altså...

1npu7 wrote:[tex]T_{\alpha}[/tex] er altså gitt ved:
[tex]T_{\alpha}^4 = \frac{n}{n+1} \cdot T_1^4 + \frac{1}{n+1} \cdot T_2^4[/tex]Hvordan kommer jeg frem til dette uttrykket? [tex]T_{\alpha}[/tex]

noe sånt, for 2 plater:
[tex] T_1^4-T_{a1}^4=T_{a1}^4-T_{a2}^4[/tex]
dvs
[tex]T_{a1}^4={1\over 2}(T_1^4+T_{a2}^4)\,\,\,(**)[/tex]
videre varmestrøm mot høyre gir
[tex] T_{a1}^4-T_{a2}^4=T_{a2}^4-T_{2}^4[/tex]
dvs
[tex]T_{a2}^4={1\over 2}(T_2^4+T_{a1}^4)[/tex]
sett så dette inn i (**):
[tex]T_{a1}^4={1\over 2}T_1^4+{1\over 4}(T_{a1}^4+T_2^4)[/tex]
der
[tex]T_{a1}^4={2\over 3}T_1^4+{1\over 3}T_2^4[/tex]
for 3 plater med tilsvarende resonnement fås tilsvarende:
[tex]T_{a1}^4={3\over 4}T_1^4+{1\over 4}T_2^4[/tex]
for n plater med tilsvarende resonnement fås mønsteret:
[tex]T_{a1}^4={n\over {n+1}}T_1^4+{1\over {n+1}}T_2^4[/tex]

Takk!