matematikk.net

Hei!

Jeg har gjort følgende oppgave:
"La n være et naturlig tall. Vis at funksjonen [symbol:funksjon] [sub]n[/sub](x)=x[sup]n[/sup]+n*x-n har nøyaktig et nullpunkt i intervallet (0, [symbol:uendelig] ). Vi kaller dette nullpunktet x[sub]n[/sub]." Det viste jeg med IVT.

Neste oppgave sliter jeg med:
"Vis at mengden X={x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub],... } er begrenset"

Tankegangen startet med å ende opp med en selvmotsigelse. Anta at det finnes uendelig mange nullpunkter, og derfor må s*t=-K, for s i [[symbol:funksjon](x[sub]n-1[/sub]), [symbol:funksjon](x[sub]n[/sub])] og for t i [[symbol:funksjon](x[sub]n[/sub]), [symbol:funksjon](x[sub]n+1[/sub])].Er jeg på rett spor?

Hint: [tex]f_n(1)>0[/tex] for alle n, og [tex]f_n^,(x)>0[/tex] på (1,[tex]\infty[/tex])

plutarco wrote:Hint: [tex]f_n(1)>0[/tex] for alle n, og [tex]f_n^,(x)>0[/tex] på (1,[tex]\infty[/tex])

Tusen takk!

Blir det riktig å si:
[symbol:funksjon][sub]n[/sub](0)=-n
[symbol:funksjon][sub]n[/sub](1)=1
[symbol:funksjon][sup]'[/sup][sub]n[/sub](x)=n(x[sup]n-1[/sup]+1)>0
Det finnes kun ett nullpunkt på (0, [symbol:uendelig])

Dermed er X begrenset til X={x[sub]1[/sub]}={-n}?

Kake med tau wrote:
Dermed er X begrenset til X={x[sub]1[/sub]}={-n}?

Alt du sier er riktig, unntatt denne siste setningen. Følgen [tex](x_n)[/tex] består av nullpunktene til [tex]f_n(x)[/tex]. Siden ingen [tex]f_n(x)[/tex] kan ha et nullpunkt som er større enn x=1, vil følgen være oppad begrenset av nettopp 1.

PS: at en følge er oppad begrenset betyr at det fins en K>0 slik at [tex]x_n < K[/tex] for alle [tex]x_n.[/tex] I denne oppgaven kan vi altså velge f.eks. K=1.

Velkommen til forumet forresten:)

plutarco wrote:

Kake med tau wrote:
Dermed er X begrenset til X={x[sub]1[/sub]}={-n}?

Alt du sier er riktig, unntatt denne siste setningen. Følgen [tex](x_n)[/tex] består av nullpunktene til [tex]f_n(x)[/tex]. Siden ingen [tex]f_n(x)[/tex] kan ha et nullpunkt som er større enn x=1, vil følgen være oppad begrenset av nettopp 1.

PS: at en følge er oppad begrenset betyr at det fins en K>0 slik at [tex]x_n < K[/tex] for alle [tex]x_n.[/tex] I denne oppgaven kan vi altså velge f.eks. K=1.

Velkommen til forumet forresten:)

Takk

Så mengden X er for hele (-[symbol:uendelig], [symbol:uendelig]) og ikke for kun (0, [symbol:uendelig])?
Og, er inf{X}=0, og sup{X}=1 for (0, [symbol:uendelig])?

Kake med tau wrote: Takk :D

Så mengden X er for hele (-[symbol:uendelig], [symbol:uendelig]) og ikke for kun (0, [symbol:uendelig])?
Og, er inf{X}=0, og sup{X}=1 for (0, [symbol:uendelig])?

Hvis vi definerer X som mengden av positive nullpunkter [tex]x_n[/tex] til funksjonene [tex]f_n(x)[/tex] for alle naturlige tall n, så er [tex]0<x_n<1[/tex] for alle [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], ja. Den første ulikheten er jo triviell siden vi kun ser på positive nullpunkter. Den andre ulikheten er en konsekvens av at [tex]f_n(x)[/tex] er strengt voksende på [tex](0,\infty)[/tex] samt at [tex]f_n(1)=1>0[/tex] for alle [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], altså må nullpunktet til [tex]f_n(x)[/tex] ligge mellom 0 og 1 for alle n.

I tillegg skal jeg finne ut om {x[sub]n[/sub]} konvergerer eller divergerer (også finne verdien om den konvergerer)

Siden den deriverte, [symbol:funksjon][sup]'[/sup][sub]n[/sub](x)=n(x[sup]n-1[/sup]+1), er større enn null og vokser eksponensielt antar jeg at X konvergerer.

Kunne noen hjulpet meg med å vise det, og finne verdien?

Det du skriver om den deriverte lar deg ikke konkludere at følgen må konvergere. Det lar deg bare konkludere ting om funksjonen i seg selv.
Det du derimot vet er at følgen er begrenset oppad. Hvis du derimot klarer å vise at følgen av nullpunkt er monoton ([tex]x_n \leq x_{n+1} \text{ for alle n}[/tex]) så er det et svært nærliggende teorem som lar deg konkludere at da må følgen konvergere, og den vil konvergere til supremum av følgen.

Hvis x>0 er grensen til følgen må x tilfredsstille

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{x^n+nx}{n}=1[/tex].

Hint: Bruk L´Hopital

(Jeg tror det er enklere å gjøre det slik enn å bevise hva som er supremum til følgen. )

Det er nok hakket lettere, ja.

plutarco wrote:Hvis x>0 er grensen til følgen må x tilfredsstille

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{x^n+nx}{n}=1[/tex].

Hint: Bruk L´Hopital

(Jeg tror det er enklere å gjøre det slik enn å bevise hva som er supremum til følgen. )

Jeg ender opp med [tex]\lim_{n\to\infty}[/tex]ln(x)x[sup]n[/sup]+x=1, og da er eneste løsning x=1, tusen takk for hjelpen!