matematikk.net

Hei!

Jeg har prøvd å løse denne oppgaven, men er usikker på om jeg har gått riktig frem.



Det jeg har skrevet er:

[tex]\large f^\prime[/tex] er kontinuerlig i 0.
Altså [tex]\large f^\prime(0)\ = \lim_{x\to0}{\large f^\prime(x)}[/tex]
[tex]\large f^\prime(0)\ = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x }[/tex]

[tex]\large f^\prime(0)\ = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x -0}[/tex]



Siden
[tex]{a_{n}}\not={b_{n}}[/tex], og
[tex]\lim{n\to\infty}{{a_{n}}}=\lim{n\to\infty}{b_{n}}=0[/tex]
settes [tex]\lim_{\Delta x\to0}{\Delta x}=\lim{n\to\infty}{b_{n}}[/tex], og [tex]0=\lim{n\to\infty}{a_{n}}[/tex]

Dermed [tex]\large f^\prime(0)\ = \lim_{n\to\infty}\frac{f(b_{n})-f({a_{n}})}{b_{n}-a_{n}}[/tex]

På forhånd, takk for tilbakemeldinger

Har ikke sett så nøye på oppgaven, men jeg ser at du bruker:
[tex]\lim \frac{a}{b} = \frac{\lim a}{\lim b}[/tex].
Dette gjelder kun dersom grenseverdien i nevner ikke er null som den er i dette tilfellet. Skal se nærmere på oppgaven og komme tilbake, dersom ingen andre kommer meg i forkjøpet.

Fra mean value theorem fins en følge [tex]c_n[/tex] slik at [tex]f^,(c_n)=\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}[/tex] der [tex]c_n\in (a_n,b_n)[/tex], altså må [tex]c_n\to 0[/tex].

Kontinuitet av den deriverte i 0 gir da at [tex]\lim_{n\to\infty}f^,(c_n)=f^,(\lim_{n\to\infty}c_n)=f^,(0)[/tex].

(Kontinuiteten til [tex]f^,[/tex] kan droppes dersom vi isteden krever at [tex]a_n\leq 0 \leq b_n[/tex]. Det er en fin øvelse å vise likheten i dette tilfellet. Eventuelt kan man kreve at [tex]\frac{a_n}{b_n-a_n}[/tex] er begrenset)