matematikk.net

Hei!
Jeg har skrevet et bevis for Wirtingers ulikhet:
"Hvis f er T-periodisk, kontinuerlig og stykkvis [tex]C^1[/tex] med [tex]\int_0^T f(t) dt = 0[/tex] så er:
[tex]\int_0^T |f(t)|^2 dt \leq \frac{T^2}{4 \pi^2} \int_0^T |f^{\prime} (t)|^2 dt[/tex]
med likhet hvis og bare hvis [tex]f(t) = A \sin \frac{2 \pi t}{T} + B \cos \frac{2 \pi t}{T}[/tex]"
("Fourier analysis: An introduction", Stein; Shakarchi)

Bevis:
La [tex]c_n(f)[/tex] være Fourier-koeffisientene til f. Vi har da at:
[tex]c_n(f) = T^{-1} \int_0^T f(t) e^{-in \omega t}dt \text{, hvor } \omega=\frac{2 \pi}{T}[/tex].
Ved delvis integrasjon kan vi da vise at:
[tex] \omega i n c_n(f) = c_n(f^{\prime})[/tex]
Her bruker vi perioden til f og at f er deriverbar.
Siden f er integrerbar (premiss) har vi at Parsevals identitet gjelder:
[tex]T^{-1} \int_0^T |f(t)|^2 dt = \sum_{n=- \infty}^{\infty} |c_n(f)|^2 = \sum_{n=- \infty}^{\infty} \left|\frac{c_n(f^{\prime}) T}{2 \pi i n} \right|^2 = \frac{T^2}{4 \pi^2} \sum_{n=- \infty}^{\infty} \left|\frac{c_n(f^{\prime})}{n} \right|^2 \\ \leq \frac{T^2}{4 \pi^2} \sum_{n=- \infty}^{\infty} |c_n(f^{\prime})|^2 = T^{-1} \frac{T^2}{4 \pi^2} \int_0^T |f^{\prime}(t)|^2 dt[/tex]

For likhet er det bare snakk om å sette inn og sjekke.

Ser dette greit ut? Er det noen betenkeligheter? Jeg er litt usikker selv. Spesielt på siste linje. Er det mulig å bruke Parsevals identitet på f'?

Lite oppfølgningsspørsmål om Parsevals identitet:
Vi definerer indreproduktrommet [tex]\math{R}[/tex] over integrerbare funksjoner på [tex][0,2 \pi][/tex] i [tex]\mathb{C}[/tex] hvor indreproduktet er definert ved
[tex]\langle f, g \rangle = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \bar{g(t)}dt[/tex] med den induserte normen [tex]||f||^2 = \langle f , f \rangle[/tex] og [tex]L^2([0, 2 \pi])[/tex]? Jeg vet det siste er et Hilbertrom (det første er ikke komplett). Jeg har litt forskjellige bøker (+wikipedia) og når jeg leser om approksimasjonsteorem og Parsevals identitet står det at disse holder GITT at funksjonen ligger i [tex]L^2[/tex]. Men i boken vi bruker i kurset står det at teoremene gjelder så lenge f er i [tex]\math{R}[/tex]. Er dette da egenskaper som er uavhengig av kompletthet? Og sitter R inne i L2? Er det mulig å utvide R til L2?

Endring:
På wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Square-integrable_function) står det, etter hva jeg kan forstå, at R er komplett?? I boken min står det at R ikke er komplett bevist med et moteksempel. Hva er det jeg misforstår her?

Angående den første posten:

Klarer du å vise at

[tex]\int_0^T |f(t)|^2\,dt<\infty[/tex] og

[tex]\int_0^T |f^,(t)|^2\,dt<\infty[/tex],

skal det være riktig (utfra det jeg kan se)

wingeer wrote:Lite oppfølgningsspørsmål om Parsevals identitet:
Vi definerer indreproduktrommet [tex]\math{R}[/tex] over integrerbare funksjoner på [tex][0,2 \pi][/tex] i [tex]\mathb{C}[/tex] hvor indreproduktet er definert ved
[tex]\langle f, g \rangle = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \bar{g(t)}dt[/tex] med den induserte normen [tex]||f||^2 = \langle f , f \rangle[/tex] og [tex]L^2([0, 2 \pi])[/tex]? Jeg vet det siste er et Hilbertrom (det første er ikke komplett). Jeg har litt forskjellige bøker (+wikipedia) og når jeg leser om approksimasjonsteorem og Parsevals identitet står det at disse holder GITT at funksjonen ligger i [tex]L^2[/tex]. Men i boken vi bruker i kurset står det at teoremene gjelder så lenge f er i [tex]\math{R}[/tex]. Er dette da egenskaper som er uavhengig av kompletthet? Og sitter R inne i L2? Er det mulig å utvide R til L2?

Endring:
På wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Square-integrable_function) står det, etter hva jeg kan forstå, at R er komplett?? I boken min står det at R ikke er komplett bevist med et moteksempel. Hva er det jeg misforstår her?

Hva er motbeviset du henviser til?

Vil ikke det essensielt følge fra hvordan indreproduktrommet R er konstruert (hvis man bare skalerer det litt)? Siden f er kontinuerlig og f' er stykkvis kontinuerlig er de jo begge integrerbare og følgelig elementer i R => "square integrable"?

R er ikke komplett.
Bevis:
Legg merke til følgende konvensjon av forfatteren. Istedenfor å snakke om funksjoner på intervallet [0,2pi] snakker han heller om funksjoner på sirkelen. Så for en vilkårlig funksjon på intervallet f sier han at en funksjon på sirkelen F vil være definert for hvert reellt tall [tex]\theta[/tex] ved
[tex]f(\theta) = F(e^{i \theta}[/tex]. Så en kontinuerlig funksjon f på intervallet [0,2pi] induserer en kontinuerlig funksjon på sirkelen hvis og bare hvis [tex]f(0)=f(2 \pi)[/tex].
Det sagt:
Start med funksjonen
[tex]f(\theta)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 \text{ for } \theta = 0 \\ \log(1/\theta) \text{ for } 0 < \theta \leq 2\pi\end{array}\right[/tex]
Siden f ikke er begrenset er den ikke integrerbar og er derfor utenfor R. Vi har derimot at funksjonsfølgen definert ved:
[tex]f_n(\theta)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 \text{ for } 0 \leq \theta \leq 1/n \\ \log(1/\theta) \text{ for } 1/n < \theta \leq 2\pi\end{array}\right[/tex]
er en Cauchy-følge i R, men grenseverdien ligger ikke i R siden den grenseverdien, hvis den eksisterer, måtte vært f.
Dermed er ikke R komplett.

[tex]f(\theta)[/tex] er da integrerbar (EDIT: I betydningen av at det uekte integralet konvergerer). At en funksjon ikke er begrenset betyr ikke at den ikke er integrerbar.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 281%2Fx%29

Akkurat den biten var det jeg som la til selv, da jeg antok at det var derfor funksjonen ikke er i R.
Hva med Lebesgues integrerbarhetskriterie?
En funksjon f [på et komptakt intervall] er Riemann-integrerbar hvis og bare hvis den er begrenset og kontinuerlig a.e.
f er jo åpenbart ikke begrenset og derfor ikke Riemann-integrerbar?

Dersom det var dårlig spesifisert så er det Riemann-integralet vi opererer med i R.

Endring: []

Jeg ser ikke hva som er forskjellen på R og L^2 slik du definerer dem.

Dersom f er en funksjon i R, er f integrerbar. For å få et veldefinert indreprodukt må f i tillegg være kvadratisk integrerbar. Altså er f også i L^2.

Dersom f er i L^2 er den per definisjon kvadratisk integrerbar. Fra Cauchy-Schwartz er da f automatisk integrerbar. Altså er f en funksjon i R.


Når det gjelder kravet for å benytte Parseval i det opprinnelige beviset ditt, er det nok å argumentere med at f og f^, er begrensede og integrerbare på intervallet. Da følger det automatisk at de er kvadratisk integrerbare.

plutarco wrote:Jeg ser ikke hva som er forskjellen på R og L^2 slik du definerer dem.

Dersom f er en funksjon i R, er f integrerbar. For å få et veldefinert indreprodukt må f i tillegg være kvadratisk integrerbar. Altså er f også i L^2.

Dersom f er i L^2 er den per definisjon kvadratisk integrerbar. Fra Cauchy-Schwartz er da f automatisk integrerbar. Altså er f en funksjon i R.


Når det gjelder kravet for å benytte Parseval i det opprinnelige beviset ditt, er det nok å argumentere med at f og f^, er begrensede og integrerbare på intervallet. Da følger det automatisk at de er kvadratisk integrerbare.

Nei, jeg har vanskelig for å se forskjellen selv. Jeg ser at R sitter inne i L2, i alle fall. Kan det ha å gjøre med at R er definert med Riemann-integralet?
Gir ikke Cauchy-Schwartz kun at absoluttverdien av f er integrerbar?
Vel, f er kontinuerlig og f' er stykkvis kontinuerlig så begge har mål 0(?). Er ikke dette tilstrekkelig da funksjonen er kontinuerlig på et kompakt intervall => begrenset av mellomverdisetningen?

Dette var oppklarende og nå ser jeg hva du mener. Jeg trodde du mente at integralet konvergerte da du snakket om integrerbarhet i R. Dermed forvirringen.

Vi har at [tex]R\subset L^2[/tex]. R kan utvides til L^2 ved å inkludere alle funksjoner f slik at de uekte integralene [tex]\int |f|^2dt<\infty[/tex].

F.eks. vil jo for [tex]f(\theta)=\log(\frac{1}{\theta}), [/tex] [tex]\lim_{x\to 0}\int_{x}^{2\pi}|f|^2\,dt\approx 10.7<\infty[/tex], altså er [tex]f(\theta)\in L^2[0,2\pi][/tex], selv om f ikke er Riemann-integrerbar.

EDIT

Ja, men da skjønner jeg mer selv.

Likevel sliter jeg litt med å vise at dersom vi har likhet så må f(t) være på formen som definert i førsteinnlegget ... Hint?

Følger det av at f er Riemann-integrerbar og kan derfor tilnærmes av et trigonometrisk polynom ++?
Notat til selv: Annet argument for n=0?

wingeer wrote:Ja, men da skjønner jeg mer selv. :)

Likevel sliter jeg litt med å vise at dersom vi har likhet så må f(t) være på formen som definert i førsteinnlegget ... Hint?

Følger det av at f er Riemann-integrerbar og kan derfor tilnærmes av et trigonometrisk polynom ++?
Notat til selv: Annet argument for n=0?

For spesialtilfellet [tex]T=2\pi[/tex], la [tex]<f,f>=<f^, ,f^,>[/tex].

Skriv [tex]f=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{int}[/tex] og [tex]f^,=\sum_{-\infty}^{\infty}inc_ne^{int}[/tex].

Merk at kravet [tex]\int_0^{T}f\,dt = 0[/tex] gir at [tex]c_0=0[/tex].

Ekspanderer vi nå indreproduktet og bruker ortonormaliteten til [tex]e^{int}[/tex], og at [tex]c_0=0[/tex] fås etterhvert at

[tex]\sum_{n=-\infty}^{\infty} (n^2-1)|c_n|^2=0[/tex]. Utfra dette ser vi at vi må ha at [tex]c_n=0[/tex] for alle n unntatt [tex]n=1[/tex] (sum av ikkenegative ledd).

Det er fremdeles én ting jeg stusser over med beviset. Fullt mulig at det er noe åpenbart jeg har oversett, men er du sikker på at du kan bruke Parsevals identitet på stykkvis kontinuerlige funksjoner? Stykkvis kontinuerlig betyr jo ikke generelt sett Riemann-integrerbar. Man må i tillegg kreve at stykkvis kontinuerlige funksjoner er begrenset, da er de også Riemannintegrerbare. Er det åpenbart at [tex]f^,[/tex] er begrenset?

PS: Jeg ser forøvrig på wikipedia at man forutsetter at f er C^1 for at Wirtingerulikheten skal gjelde, og da kan man jo uten tvil bruke Parseval.

Briljant svar.

Det var det eneste steget jeg var usikker på med det med det første.
Men vil det ikke følge siden f' er stykkvis kont. på et kompakt intervall? Eller vil man f.eks. kunne si at tan(x) også er stykkvis kont. på [0,2pi]?
Hvis f er C^1 er det jo bare fryd og gammen. Det som gjorde meg usikker.