matematikk.net

Hei! I tekstboka mi står det følgende: "At et åpent område A er enkeltsammenhengende, betyr at det er sammenhengende, og at enhver lukket, kontinuerlig kurve i A kan snurpes sammen sammen til ett punkt uten at den forlater A".

Jeg har to spørsmål: Når vi snakker om området A, er dette det samme som å snakke om en mengde, foreksempel en delmengde av R^n?

Finnes det eksempler på at området A er sammenhengende, hvor alle lukkete, kontinuerlige kurver kan snurpes sammen til ett punkt?


Takk!

Det er ikke nødvendigvis snakk om ALLE delmengder av R^n. Det står spesifisert at mengden skal være åpen. For R^n innebærer dette at det skal være en union (eller et endelig snitt) av åpne baller [tex]B(x_0;r)= \left{ x \in \mathb{R}^n : d(x,x_0) < r \right}[/tex]. Med andre ord, en ball med sentrum x_0 og radius strengt mindre enn r.

For det andre spørsmålet ditt:
Se for deg en sirkel i planet. Hvis vi plukker to vilkårlige punkter i sirkelen vil det alltid finnes en sti mellom disse punktene (selv om begrepet "sti" har en presis matematisk definisjon holder den intuitive tolkningen av begrepet her). Det er også slik at hvis det finnes en sti mellom to punkter, så vil nødvendigvis mengden vi snakker om også være sammenhengende. For finnes det ikke en sti betyr det kort sagt at man må ut av mengden for å knytte sammen punktene => Ikke sammenhengende.
Vi legger også merke til at vi gi to punkter også kan danne lukkede kurver inne i sirkelen. Disse kan også snurpes sammen.
Se nå for deg at vi fjerner origo fra sirkelen. Mengden er fortsatt åpen, det er fortsatt slik at vi kan finne stier mellom to punkter, så mengden er sammenhengende. Vi kan også lage kurver, men vi ser nå at vi ikke nødvendigvis kan snøre de sammen! Hvis kurven er slik at origo er "inne i" den, vil vi få et problem.

For å bygge litt på wingeers glimrende svar:
Ja, [tex]A[/tex] er en mengde, men generellt behøver vi ikke å kreve at det er en undermengde av en annen menge, f.eks [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Hvis du vil ha full generalitet, behøver vi bare kreve at [tex]A[/tex] er et topologisk rom.

Eksempler er det flust av: For eksempel, la [tex]A=\{x\in \mathbb{R}^n | \ |x|\leq 1\}[/tex], den lukkede [tex]n[/tex]-ballen.

Kanskje mindre åpenbart, men også sant: [tex]S^n=\{x\in \mathbb{R}^{n+1} |\ |x|=1\}[/tex] er også enkelt sammenhengende hvis [tex]n\geq 2[/tex].


Her en noen eksempler på sammenhengende, men ikke enkelt sammenhengende rom:
[tex]S^1[/tex], med definisjonen over, er ikke enkelt sammenhengende. Ta for eksempel kurven som går en gang rundt sirkelen.
[tex]T^2=S^1\times S^1[/tex], også kjent som overflaten til en smultring, er heller ikke enkelt sammenhengende, men på to uavhengige måter!

Strålende svar fra begge!

Tusen takk, nå ble alt mye mye klarere

Kan legge til at begrepet sammenheng må sees i sammenheng (no pun.. ) med den spesifikke topologien man utstyrer mengden med. F.eks. vil en mengde A utstyrt med den diskrete topologien være totalt usammenhengende, mens samme mengde med den indiskrete topologien vil være sammenhengende.