matematikk.net

Jeg prøver å finne ut om det gitte vektorsettet {[1 1 0][sup]T[/sup], [0 1 2][sup]T[/sup]} er en basis for enten R[sup]2[/sup] eller R[sup]3[/sup].

Ved å bruke rangmetoden, så kommer jeg fram til at denne matrisen har rang = 2 og er lineært uavhengig, og ettersom det er 2 vektorer i dette settet så mente jeg at dette var en basis for R[sup]2[/sup], men i følge fasiten så er ikke dette basis for verken R[sup]2[/sup] eller R[sup]3[/sup].

Hva er det jeg har misforstått?

En basis skal bestå av vektorer fra den aktuelle mengden. Vektorene du har her er ikke med i [tex]\mathbb{R}^2[/tex] (de har tre komponenter), så da kan de jo ikke være en basis for [tex]\mathbb{R}^2[/tex] heller!

Jeg hadde en mistanke om dette, men takk for at du oppklarte det for meg!

Når jeg ser på tidligere oppgaver jeg har gjort, så ser jeg når jeg fikk det for meg at antall komponenter ikke spilte noen rolle.

For settet {[2 1][sup]T[/sup], [1 0][sup]T[/sup], [1 -1][sup]T[/sup]} så kom jeg fram til at det ikke er en basis for R[sup]3[/sup] pga. rangmetoden, men det hadde jo holdt å bruke resonnementet ditt om at vektorene bare har 2 komponenter i stede for 3, og derfor kan jo ikke dette være en basis for R[sup]3[/sup]. Og ikke kunne det vært en basis for R[sup]2[/sup] heller siden jeg har 3 vektorer i stede for 2.

Uansett, takk for hjelpen!

Ja, hvis du skal ha en basis for [tex]\mathbb R^3[/tex] så må man jo ha 3D-vektorer.

Vi har jo den velkjente standarbasisen {[1,0,0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}. Denne sørger for at vi har komponenter som strekker seg både i x-, y-, og z-retning, og de er lineært uavhengige (som vi naturligvis ser ved første øyekast ).

Ja, jeg er selvsagt helt enig etter at det gikk opp et lys!

Det er ikke tilfeldigvis planlagt flere videoer på http://udl.no/matematikk/lineaer-algebra i den nærmeste framtiden, vel?

Hehe, det er planlagt, men jeg har mye på fatet med egen skolegang for tida