matematikk.net

Jeg prøver å finne transformasjonsmatrisen for en rotasjon om origo i R[sup]2[/sup] som avbilder punktet (2, 3) på punkt (3, 2).

Måten jeg gikk fram for å løse dette på var ved å først sette opp et enkelt koordinatsystem med 2 akser. Deretter plottet jeg inn x = [2 3][sup]T[/sup] og x' = [3 2][sup]T[/sup]. Ved å måle vinkelen til både x og x', så kom jeg fram til at differansen [tex]\theta[/tex] = -22.

Fra definisjonen til en rotasjon om origo i R[sup]2[/sup], så har jeg at:

[tex]R(-\theta) = \begin{bmatrix}cos\theta & sin\theta \\-sin\theta & cos\theta\end{bmatrix}[/tex]

Ved å sette inn -22 for [tex]\theta[/tex], så trodde jeg at jeg ville komme fram til korrekt transformasjonsmatrise, men ut i fra fasitsvaret i boka så burde [tex]\theta[/tex] være rundt -22,63 i stede.

Fasiten gir at:
[tex]cos\theta[/tex] = 0,9230769231
Jeg kom fram til at:
[tex]cos\theta[/tex] = 0,9271838546

Noen som ser hvor det har gått galt?

Det gikk vel galt når du bestemte deg for å måle vinkelen . Husk at du kan bestemme (cosinus til) vinkelen mellom to vektorer hvis du kjenner skalarproduktet deres og lengdene: [tex]\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}[/tex] (dette følger fra definisjonen av skalarproduktet).

Jeg så meg nok blind på min egen "løsning" i og med at mitt svar kom så nært, men jeg syntes ikke at det var en veldig elegant løsning så jeg ante at noe var feil.

Ved å løse enhetssetningen med hensyn på [tex]sin\theta[/tex], så kom jeg fram til følgende uttrykk:

[tex]sin\theta = \sqrt{1-cos\theta^2}[/tex]

Kunne det vært gjort på noen annen måte eller er dette en grei måte å gå videre på når jeg allerede har funnet [tex]cos\theta[/tex]?

Takk for at du kunne peke meg i riktig retning!