matematikk.net

Hei! Jeg sliter med en oppgave som har med vektorer å gjøre. Hadde vært fint om noen kunne hjelpe meg.

Hjørnene i trekant ABC er gitt ved A(-2,-3), B(4,1) og C(0,7)

Videre i oppgaven skal man tegne trekanten - bestemme AB vektor, BC vektor og AC vektor - vise at trekant ABC er likebeint og rettvinklet - konstruere en sirkel som går gjennom hjørnene A, B og C.
(vet ikke om dette er relevant, men velger å ta det med for sikkerhets skyld)
Dette har jeg fått til.

Videre sier oppgaven at trekant ABC er en del av trapeset ABCD. Hjørnet D ligger på linja som tangerer sirkelen i punktet A.
Finn koordinatene til D ved regning.

Her støter jeg på problemer. Regner med at man må bruke vektorregning her også, men jeg finner ikke ut noen måte å gjøre det på.

Håper noen kan hjelpe meg

Konstruksjonen skulle bli slik:


Her er [tex]\vec{CD}[/tex] parallell med [tex]\vec{AB}[/tex] og tangenten [tex]\vec{AD}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{AC}[/tex], som er diameter is sirkelen gjennom A, B og C.

Vi skal finne koordinatene til punkt D (x, y).

[tex]\vec{AD}=\vec{OD}-\vec{OA}=(x, y) - (-2, -3) = (x+2, y+3)[/tex]

[tex]\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=(0, 7) - (-2, -3) = (2, 10)[/tex]

Når [tex]\vec{AD}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{AC}[/tex] så er skalarproduktet deres null.

[tex]\vec{AD}\cdot\vec{AC}=0[/tex]

[tex](x+2, y+3)\cdot (2, 10)=0[/tex]

[tex]2x+4+10y+30=0[/tex] => [tex]2x=-34-10y[/tex]

[tex]\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(4, 1) - (-2, -3) = (6, 4)[/tex]

[tex]\vec{CD}=\vec{OD}-\vec{OC}=(x, y) - (0, 7) = (x, y-7)[/tex]

[tex]\vec{CD}[/tex] parallell med [tex]\vec{AB}[/tex] gir:

[tex](x, y-7) = t(6, 4)[/tex]

x = 6t og y - 7 = 4t => 12t = 2x = 3y - 21

Vi fant tidligere at: 2x= -34 - 10y => 3y - 21 = -34 - 10y => y = -1

2x = 3y - 21 = -3 - 21 = -24 => x = -12

Koordinatene til punkt D er (-12, -1)

Tusen hjertelig takk for svar! nå skjønte jeg hvordan jeg skal gjøre det

Var forresten en ting jeg ikke skjønte så godt allikevel.

Hva er tankegangen bak denne delen?

x = 6t og y - 7 = 4t => 12t = 2x = 3y - 21

Skjønner ikke helt hva du har gjort her.

Kravet om at de to vektorene er parallelle gir to likninger, en for hver av komponentene i vektorene.

(1) x = 6t
(2) y - 7 = 4t

Her ønsker vi å bli kvitt t'ene, siden vi kun er interessert i x og y. Multipliserer likning (1) med 2, og likning (2) med 3.

(1) *2 => 2x = 12t
(2) *3 => 3y - 21 = 12t

Da har vi to uttrykk for 12t, slik at vi kan eliminere t'ene.

2x = 3y - 21

Sånn var det ja
Tusen takk!