matematikk.net

Hei! Står litt fast med denne oppgaven:

La A være parallellogrammet utspent av to vektorer (a; b) og (c; d) som ikke er parallelle, og la M være matrisen (a, c; b, d). Vis at avbildningen (x; y) = T(u; v) = M(u; v) avbilder enhetskvadratet K utspent av e_1 og e_2 på A.

Har kommet frem til at avbildningen M(u; v) er (au+cv; bu+dv), hvor u og v ligger mellom 0 og 1 (siden de er endel av enhetskvadratet). Men hvorfor ligger dette i parallellogrammet?

La to ikkeparallelle, ikke-null, vektorer $\vec{v_1}$ og $\vec{v_2}$ utspenne et parallellogram $P_1$. Alle punkter inni $P_1$ er da på formen $k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}$ der $0\leq k_1,k_2\leq 1$.

La $M$ være en lineær operator (matrise). Bruker vi denne på vektorene $\vec{v_1}$ og $\vec{v_2}$ får vi to nye vektorer $M\vec{v_1}$ og $M\vec{v_2}$, som utspenner et nytt parallellogram $P_2$. Dersom $\vec{w}$ er en vektor som ligger inni $P_1$, er $\vec{w}=c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}$ for konstanter $0\leq c_1,c_2\leq 1$. Nå ser vi at $M\vec{w}=M(c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}) = c_1M\vec{v_1}+c_2M\vec{v_2}$. Altså vil vektoren $M\vec{w}$ ligge inni parallellogrammet $P_2$ utspent av $M\vec{v_1}$ og $M\vec{v_2}$. Så parallellogrammet $P_1$ avbildes over til parallellogrammet $P_2$ under lineæroperatoren $M$.

Hm. Takk for svar. Det var vel egentlig en ganske lett oppgave!