matematikk.net

Hm, plages med denne.. Noen som kan?

La funksjonen f være gitt ved f(x)=xe^-1/2x^2
på hele tallinja.

(a) Finn eventuelle nullpunkter til f. Beregn den deriverte til f, og finn eventuelle ekstrempunkter til f. Beskriv monotoniegenskapene til f.

(b) Beregn f^'', og undersøk hvordan f krummer. Finn eventuelle vendepunkter til f.

På forhånd takk

a) nullpunkter er der funksjonen er lik 0.

xe^(-1/2x^2) = 0

eksponentialfunksjonen er aldri null derfor er x = 0 eneste løsning.

Deriverer vha produktregel og kjerneregel:

f' = e^(-1/2x^2) - x^2e^(-1/2x^2)

Ekstrempunkter er der den deriverte er lik null. Siden eksponentialfunksjonen aldri er null er det der:

1-x^2 = 0 som gir x = +/-1 som løsning.

Tegner fortegnslinje og finner at x vokser på x = <-1,1> og synker på resten av definisjonsområde.

b:

f'' = -xe^(-1/2x^2) + x^3e^(-1/2x^2) -2xe^(-1/2x^2)

Setter den lik null og får at

x^3 - 3x = 0

x = 0 og x = +/-[rot][/rot]3 er vendepunkter til f.

[rot][/rot]