Vise at $\alpha_v = 3 \alpha_l$

[Nebuchadnezzar]

Har en oppgave som jeg surrer litt med i termisk fysikk. Satser på å få hjelp da jeg
antar jeg bare har sett meg blind på oppgaven angående det regnetekniske.

Holder på med hvordan gasser og stoffer utvider seg når de varmes opp, og skal da vise at

$ \hspace{3cm} \alpha_V = 3 \alpha_l $

Der $V = L_x \cdot L_y \cdot L_z$ og $\alpha_V$ er den kubiske utvidelseskoeffisienten

$ \hspace{3cm} \displaystyle \alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right)_p $

og $\alpha_l $ er den lineære utvidelseskoeffisienten

$ \hspace{3cm} \displaystyle \alpha_l = \frac{1}{L} \left( \frac{ \partial L }{ \partial T } \right)_p $.

Angående hvor en skal begynne antok jeg at jeg skulle bruke sykliske regeln / permutasjonen av differensialer.

$ \hspace{3cm} \displaystyle -1 = \left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right)_L \left( \frac{ \partial T }{ \partial L } \right)_V \left( \frac{ \partial L }{ \partial V } \right)_T $

Men løper inn i et par problemer da høyre siden blir positiv mens venstre er negativ.
Er dette rett fremgangsmåte? Klarer ikke helt kome i mål med algebraen heller, da
jeg ikke helt ser hvordan jeg kan skriv om

$ \hspace{3cm} \displaystyle \left( \frac{ \partial L }{ \partial V } \right)_T$

håper noen kommer med noen kloke ord, en dytt i rett retning =)

[espen180]

Her burde det holde bare ved å bruke kjerneregelen.

Vi må anta at volumet stoffet befinner seg i er kubisk. For å få uttrykket du vil ha må man faktisk anta at sidekantene er like: $V=L^3$.
Jeg tror ikke du kan bruke den sykliske formelen her. Holder du L eller V konstant, vil du jo ikke kunne endre på den andre, så den andre faktoren i produktet er udefinert?

Her er mitt løsningsforslag.

$\alpha_V=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{1}{V}\sum_{i=x,y,z}\left(\frac{\partial V}{\partial L_i}\right)_p \left(\frac{\partial L_i}{\partial T}\right)_p=\sum_{i=x,y,z}\frac{1}{V}\frac{V}{L_i}\left(\frac{\partial L_i}{\partial T}\right)_p=\alpha_L^x+\alpha_L^y+\alpha_L^z$

Spesialiserer vi til tilfellet $L_x=L_y=L_z=L$, får vi $\alpha_V=3\alpha_L$.

[Janhaa]

eller via traktormetode og termodynamikk: gitt pV = nRT

[tex]V = L^3 = (nRT) / p[/tex]

[tex]\alpha_V = \frac{1}{V}\frac{d}{dT}(\frac{nRT}{p})=\frac{1}{V}(\frac{nR}{p})[/tex]

[tex]\alpha_L = \frac{1}{L}\frac{d}{dT}(\frac{nRT}{p})^\frac{1}{3}=\frac{1}{L}*\frac{1}{3}(\frac{nRT}{p})^{-2/3}\frac{nR}{p}[/tex]

[tex]\frac{\alpha_V}{\alpha_L}=3\frac{1}{L^2}(L^3)^\frac{2}{3}=3[/tex]
dvs
[tex]\alpha_V=3\alpha_L[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Takker for svar, antar det er Espen sin måte som er meningen å bruke her da det å anta
at et homogent materiale følger den ideelle gassloven blir litt langstrakt?
Var litt rart at de skrev $V = L_x \cdot L_y \cdot L_z$ og ikke $V = L^3$, men da får bare vær.

Takker for svarene =) *begynne med eksamenslesingen*