matematikk.net

Hei. Jeg har litt problemer igjen. Jeg skal vise at $f(x) = x^2$ er kontinuerlig, men ikke uniformt kontinuerlig. Første delen løste jeg ved å si at funksjonen er kontinuerlig i et vilkårlig punkt $a$ om $|x-a| < \delta < min\{1,\frac{\epsilon}{2|a|+1}\}$.

Men at den ikke er uniformt kontinuerlig skjønner jeg ikke hvordan jeg skal gripe an. Det må jo da vises at det finnes en $\epsilon > 0$ slik at uansett hvor liten man velger $\delta > 0$ så finnes det punkter x og y slik at $|x-y| < \delta$ men $|x^2-y^2| \geq \epsilon$.

Men jeg vet ikke... er ikke særlig god på epsilon-delta-argumentasjon...

Tenk nøye gjennom definisjonen. En funksjon $f$ er uniformt kontinuerlig dersom det for alle $\epsilon > 0$ eksisterer en $\delta > 0$ slik at FOR ALLE $x,y$ i domenet har man $|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$. Med andre ord kan vi fiksere $\epsilon>0$. Vi kan nå prøve å finne $x,y$ slik at implikasjonen vil være ugyldig uansett hva delta er. Kan du komme på noen slike $x,y$?

Jeg klarer ikke dette, og jeg tenker at hvis $|x-y|$ skal kunne gå mot null, så må også $|x^2-y^2| = |x+y||x-y|$ gå mot null på grunn av den siste faktoren...

Så derfor finner jeg ikke $x,y,\epsilon$ slik at uansett hvor liten $\delta$ vi har, så er $|x-y| < \delta$ og $|x^2-y^2| \geq \epsilon$...

Jeg tar jo feil, selvsagt...

$|x^2-y^2|=|x+y||x-y|$. Velg en vilkårlig $\delta>0$. Da er det mulig å velge x og y store nok slik at $|x+y|>\frac{\epsilon}{\delta}$.

Smart triks!

Jeg lurer egentlig på om jeg har noen fremtid innen matematikk om jeg ikke klarer slike ting som dette hehe...

Men det er vel bare å øve (er jo sterkere på andre områder innen matematikken enn dette og, så).

Men takk!

Tenk heller: dette var et lurt triks, det skal jeg stjele!

Hehe, ja, det er tyverier som gjelder innen Akademia, og det har det jo alltid vært!