Holder dette beviset (konvergens mot fikspunkt)?
Posted: 13/05-2013 15:40
Hei. Jeg har fått følgende i oppgave:
La $\textbf{F} : R^n \rightarrow R^n$ være en kontinuerlig funksjon. Vis at dersom det finnes en følge $\{\textbf{u}_n\}$ der $\textbf{u}_{n+1} = \textbf{F}(\textbf{u}_n)$ som konvergerer mot $\textbf{u}$, så er $\textbf{u}$ et fikspunkt for $\textbf{F}$.
Dette er mitt forslag:
Vi har jo $\textbf{u}_{n+1} = \textbf{F}(\textbf{u}_n)$, og dermed også $\lim_{n \rightarrow \infty} \textbf{u}_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}\textbf{F}(\textbf{u}_n) = \textbf{F}(\lim_{n \rightarrow \infty} \textbf{u}_n)$. Med andre ord har vi $\textbf{u} = \textbf{F}(\textbf{u})$. Men dette viser at $\textbf{u}$ er et fikspunkt for $\textbf{F}$.
Jeg lurer på om dette er et holdbart bevis. Er ikke så god på beviser!
La $\textbf{F} : R^n \rightarrow R^n$ være en kontinuerlig funksjon. Vis at dersom det finnes en følge $\{\textbf{u}_n\}$ der $\textbf{u}_{n+1} = \textbf{F}(\textbf{u}_n)$ som konvergerer mot $\textbf{u}$, så er $\textbf{u}$ et fikspunkt for $\textbf{F}$.
Dette er mitt forslag:
Vi har jo $\textbf{u}_{n+1} = \textbf{F}(\textbf{u}_n)$, og dermed også $\lim_{n \rightarrow \infty} \textbf{u}_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}\textbf{F}(\textbf{u}_n) = \textbf{F}(\lim_{n \rightarrow \infty} \textbf{u}_n)$. Med andre ord har vi $\textbf{u} = \textbf{F}(\textbf{u})$. Men dette viser at $\textbf{u}$ er et fikspunkt for $\textbf{F}$.
Jeg lurer på om dette er et holdbart bevis. Er ikke så god på beviser!
