matematikk.net

Heisann,

Jeg tror endelig at jeg begynner å skjønne induksjonsbeviset, men jeg skjønner ikke algebraen i siste ledd, selv om jeg skjønner konklusjonen i beviset. Regner med jeg ikke trenger om å skrive ned hele oppgaven. Siste mellomregning for n = k + 1 er som følger:

1 + 3 + 6 +...+(k(k+1))/2 + (k+1)(k+2)/2 = (k(k+1)(k+2))/6 + ((k+1)(k+2))/2

Dette blir til:

(k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2))/6 = ((k+1)(k+2)(k+3))/6

Jeg skjønner konklusjonen og at dette fullfører induksjonsbeviset, men jeg skjønner desverre ikke algebraen. Ser at siste ledd i uttrykket til venstre har blitt ganget med tre, men skjønner ikke hva som skjer i første ledd.

Skjønner heller ikke helt hvordan uttrykket til høyre for likhetstegnet blir som det blir, selv om jeg skjønner at det har blitt ganget med tre.

Jeg er klar over at dette er basic stuff, men det er nettop dette jeg mangler og akkurat nå har jeg svært lite tid frem til eksamen så jeg håper dere har tålmodighet med mine "barnslige" spørsmål.

På forhånd takk!

I første overgangen finner man fellesnevner, slik at man kan summerer uttrykkene direkte. I den siste overgangen faktoriserer man ut
de felles faktorene i de to leddene, [tex](k+1)(k+2)[/tex]

Tar med en utregning med litt flere mellomregninger.

[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}6+\frac{(k+1)(k+2)}2=\frac{k(k+1)(k+2)}6+\frac{3\cdot (k+1)(k+2)}{3\cdot 2}=\frac{k(k+1)(k+2)}6+\frac{3(k+1)(k+2)}6[/tex]

Nå er fellesnevneren funnet og brøkene kan slås sammen.

[tex]=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}6[/tex]

Generelt er [tex]ba+ca=(b+c)a[/tex]
vi ser at de to leddene deler faktorene [tex](k+1)[/tex] og [tex](k+2)[/tex] så produktet av disse blir [tex]a[/tex] i dette tilfelle.
Da blir [tex]b[/tex] lik [tex]k[/tex] og [tex]c[/tex] lik [tex]3[/tex]. Det gir selvfølgelig også samme resultat om man faktoriserer ut [tex](k+1)[/tex] og [tex](k+2)[/tex] i to omganger.

Dermed blir

[tex]\frac{k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)}6 = \frac{[(k)+(3)](k+1)(k+2)}6=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6[/tex]

Forhåpentligvis skapte ikke dette mer uklarhet.
Edit: retta opp noe slurv.

Takker så mye!

Tror jeg er med nå. Er dette 1T pensum eller til og med ungdomskolepensum?

Det å kunne legge sammen brøker (med ukjente) ved å finne fellesnevner er ungdomskolepensum. Faktorisering av polynomer av forskjellig vanskelighetsgrad
begynner man med allerede i 1T, men dette går igjen i både R1 og R2. Faktorisering kan være vanskelig, men er noe man får mye igjen for å kunne godt. I
forenkling av uttrykk i mange utregninger, som for eksempel induksjonsbevis, blir utregningene mye mer effektive og elegante hvis man ser faktoriseringen.
Alternativet er å multiplisere ut parentesene og sammenligne.

Brahmagupta wrote:Det å kunne legge sammen brøker (med ukjente) ved å finne fellesnevner er ungdomskolepensum. Faktorisering av polynomer av forskjellig vanskelighetsgrad
begynner man med allerede i 1T, men dette går igjen i både R1 og R2. Faktorisering kan være vanskelig, men er noe man får mye igjen for å kunne godt. I
forenkling av uttrykk i mange utregninger, som for eksempel induksjonsbevis, blir utregningene mye mer effektive og elegante hvis man ser faktoriseringen.
Alternativet er å multiplisere ut parentesene og sammenligne.

Jepp. Nei, jeg må nok sette meg ned å jobbe med dette i sommer. Kjedelig når det grunnleggende fra lengre tilbake gjør at det stopper opp på høyere nivå, men sånn er det bare.

Takk for hjelpen i hvert fall.