matematikk.net

Heisann!

Har sittet en stund og rotet rundt, men ser ikke ut som jeg kommer noen vei. Skal finne og klassifisere polene til funksjonen
[tex]f(z)= \frac{1}{\sin z - \sin a}[/tex]

hvor [tex]a \in \mathbb{C}[/tex]. Jeg står rett og slett helt fast, haha.. Har prøvd å trekke ut [tex]\frac{1}{\sin z}[/tex] og finne Laurent serien innenfor [tex]\begin{vmatrix}\frac{\sin a}{\sin z}\end{vmatrix} < 1[/tex] men faller alltid tilbake til problemet med å finne ut hvor polene faktisk ligger.

Edit: heter kanskje Laurent rekke på norsk Også innser jeg jo at det er litt dumt å ekspandere tilfeldig når jeg ikke vet hvor polene ligger til å begynne med.

Observer at polene oppstår når nevneren i brøken blir 0. Ut fra dette burde du være i stand til å finne verdien til polene. For å klassifisere dem, så prøv å gang med z-<pol>, og se om dette gir en fornuftig verdi (bruk l'hopitals regel). Pass på om det kan finnes spesialtilfeller

Jeg er klar over at polene oppstår når neveren i brøken blir null. Det som ikke er helt åpenbart er hvordan man løser likningen [tex]\sin z = \sin a[/tex] for [tex]a \in \mathbb{C}[/tex]. Poenget er at [tex]\sin z = \sinh iz = \frac{1}{2i}(e^{iz} - e^{-iz})[/tex] og å putte dette tilbake i ligningen gir [tex]\sinh iz = \sinh ia[/tex] eller [tex]e^{iz} - e^{-iz} = e^{ia} - e^{-ia}[/tex] for både [tex]z,a \in \mathbb{C}[/tex]. Nå er jo åpenbart [tex]z=a[/tex] en løsning, men det må da finnes fler, fordi [tex]\sin z[/tex] er jo definitivt ikke en injektiv funksjon (la z og a være reelle så har du jo uendelig mange løsninger). Problemet ligger i at jeg ikke kan direkte anvende periodisiteten til sinus funksjonen siden både a og z er komplekse. Så hvordan finner jeg alle z slik at [tex]\sin z = \sin a[/tex]?

Edit: Takk for svar forresten!

Også i polar koordinater gjelder at om du legger til k*2pi (reell) til z får du samme resultat. At dette stemmer kan du se av at begge e-eksponentene øker med 2k*pi*i , og dermed bare går et omløp (så du får samme tall). Det andre settet finner du i det komplekse tilfellet ved å ta pi-a konjungert som basis (om jeg ikke har gjort en tabbe i utledningen min). Jeg greier ikke selv å skulle se at det skulle kunne være noen andre løsninger, men må innrømme at jeg i farten ikke er helt sikker på om dette er absolutt alle løsningene.

Takk! Ser ut som det funker!