matematikk.net

Definisjonen av implisitt funksjonsteorem i min lærebok er:

Anta at U er en åpen delmengde av $R^{m+1}$ og la $f : U \rightarrow R$ være en funksjon med kontinuerlige partiellderiverte. Anta at $(\bar{\textbf{x}},\bar{y}) = (\bar{x_1}, \bar{x_2},...,\bar{x_m},\bar{y})$ er et punkt i U der $f(\bar{\textbf{x}},\bar{y}) = 0$. Anta videre at $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(\bar{\textbf{x}},\bar{y}) \neq 0$. Da finnes det er omegn $U_0$ om $\bar{\textbf{x}}$, og en deriverbar funksjon $g : U_0 \rightarrow R$ slik at $g(\bar{\textbf{x}}) = \bar{y}$ og $f(\textbf{x},g(\textbf{x})) = 0$ for alle $\textbf{x} \in U_0$. Den deriverte til g er gitt ved $\frac{\partial{g}}{\partial{x_i}}(\bar{\textbf{x}}) = -\frac{\frac{f}{x_i}(\bar{\textbf{x}},\bar{y})}{\frac{f}{y}(\bar{\textbf{x}},\bar{y})}$.

Dette er jo forholdsvis mye å holde greie på spør du meg. Skal man lære/forstå hele greia må man jo jobbe endel med det. Men oppgavene i boka løser problemer knyttet til dette ved å sjekke at $f(\bar{\textbf{x}},\bar{y}) = 0$ og at $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(\bar{\textbf{x}},\bar{y}) \neq 0$. Holder dette, ifølge bokas eksempler, så finnes funksjonen g (i omegnet), og der deriverte er da gitt som i definisjonen av implisitt funksjonsteorem.

Jeg syns ikke det er noe vrient å sjekke disse to tingene eksemplene snakker om, men syns det er litt forvirrende med denne lange definisjonen, spesielt knyttet opp til de to (enklere) kriteriene eksemplene kommer med…

Noen som kan forklare litt?

Om jeg forstår spørsmålet ditt rett, så er svaret bare at et matematisk teorem jo må være presis, så den må være på en form der alle premissene for å kunne trekke konklusjonen må være nevnt eksplisitt (som kontinuerelig derivert, funksjon definert på åpen mengde etc). I eksempler er det derimot fristende for en lærebokforfatter å anse endel av disse kriteriene som "åpenbare"/noe som vanligvis er oppfylt uansett (som at hele R^{m+1} er en åpen delmengde av R^{m+1}, eller at et polynom har kontinuerelige deriverte), og dermed fokuserer på å vie plass til de litt mer "uvanlige" kriteriene som ligger til grunn i implisitt funksjonsteorem, som at senterpunktet må være et nullpunkt for funksjonen, og at basisen variablelen som blir "forenklet" bort ikke må være normalen til gradienten.

Traff dette noe på det du spurte om?

Om det du er ute etter er en mer intuitiv forklaring av teoremet så forteller jo den egentlig bare at du ved et nullpunkt i en funksjon vil finne rundt den punktet en flate av en dimensjon en lavere enn definisjonsrommet for funksjonen, og en måte å finne den lokale formelen for denne flaten. Et praktisk eksempel er potensiell energi i fysikken som er en funskjon fra R3 til R. Der vil områder med likt potensiale danne flater i rommet. Kanskje enda enklere er det å tenke seg et høydekart, som er en funskjon fra R2->R (kartposisjon til høyde), der det er vanlig å tenge ekvihøydene, og at de tydelig er 1-dimensjonale linjer. g(x) forteller da bare, hva y-verdiene til ekvi-linja rundt punktet x',y' er. Da er det og greit å se at om en har enhetssirkelen om origo, så kan ikke en slik funskjon finnes om punktet (1, 0) (siden df/dy vil være 0 der).

Takk for svar!

Ja, det er vel dette jeg lurer på... syns bare definisjonen virket veldig komplisert, men ser vel nå da at det ikke er så ille allikevel. Man har altså at funksjonsverdien må være 0 på det gitte punktet, samt at den deriverte av funksjonen med hensyn på variabelen man ønsker å "eliminere" ikke må være null (noe som er ganske lett å huske i og med at denne størrelsen er nevner i uttrykket for de deriverte av funksjonen man ønsker å erstatte inn i stedet for den gitte variabelen).

Ser jo at definisjoner (og alt annet) må være 100% gyldig innen matematikk. Var bare litt mye å holde styr på, innholdet av denne definisjonen, ved første øyekast.

Det er nok lettest å forstå teoremet gjennom et konkret eksempel i 2 dimensjoner:

La $f(x,y)=x^2+y^2-1$ og skissér grafen.

Legg merke til at $f(x,y)=0$ på enhetssirkelen $x^2+y^2=1$.

Teoremet sier da at det for alle punkter (x,y) på enhetssirkelen, unntatt de punkter der $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0$(altså hele x-aksen i dette tilfellet), fins en funksjon g(x) hvis graf på en liten omegn om x samsvarer med nivåkurven til f(x,y) gjennom punktet (altså enhetssirkelen i dette tilfellet). I så fall er $g_x = -\frac{f_x}{f_y}$ evaluert i punktet.

For punktet (0,1) kan vi la $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ på en omegn (-0.5,0.5) om x=0. Da blir $g_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$, så $g_x (0)=0$. Vi har også at $f_x = 2x$ og $f_y = 2y$, så $-\frac{f_x}{f_y}=0$ evaluert i (0,1).

Legg merke til at teoremet nå sier at $\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{2x}{2y}$ for alle punkter på øvre del av enhetssirkelen. Men dette er jo bare
ligningen for en sirkel med radius 1 (øvre del vel å merke)! Så teoremet samsvarer med det vi vet om nivåkurven til f(x,y)!

Takk for svar!

Med "et lite omegn av x", menes det da i dette tilfellet i praksis (-1,1), i og med at x også kan være på alt fra (-1,1)?

Jeg tror jeg forstår teoremet nå, jeg er bare ikke så god med slik "grundig" notasjon (som for eksempel i definisjonen her). Men jeg ser jo også at man må være så nøye.

Determined wrote:Takk for svar!

Med "et lite omegn av x", menes det da i dette tilfellet i praksis (-1,1), i og med at x også kan være på alt fra (-1,1)?

Sålenge omegnen velges liten nok til at den ligger innenfor (-1,1) så funker det. (Det er ikke en unik omegn).

Edit: Velger du $U_0 = (-1,1)$ må du definere $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ for punkter med y>0, og $g(x)=-\sqrt{1-x^2}$ for punkter y<0.

Ja, så $U_0$ er ikke spesifisert mer nøyaktig enn at det må være $\in U$ og ikke trenger å være større enn en infinitesemal størrelse...

Determined wrote:Ja, så $U_0$ er ikke spesifisert mer nøyaktig enn at det må være $\in U$ og ikke trenger å være større enn en infinitesemal størrelse...

Ja. Det kan godt være en $\epsilon$-omegn om punktet, ja. Så lenge f(x,g(x))=0 på hele U_0..