Trigonometri igjen...

[Johan Nes]

Heisann,

f(x)= sin (2x - PI/2) + 1

Eventuelt f(x) = 2 * (sin x)^2

Jeg skal finne toppunkt (og bunnpunkt) når X element i <3PI, 4PI>

Da sier fasiten at funksjonen har størst verdi når sin (2X - PI/2) = 1

Det skjønner jeg. Og det gir da en likning:

2X - PI/2 = PI/2 + k * 2*PI

Jeg skjønner ikke hvordan de kommer frem til uttrykket på høyre side? Tilsvarende på lignende likninger.

Løsningen blir forresten for k = 3, men jeg regner med det er prøving og feiling for å komme til at k=3 er den verdien som passer?

For bunnpunktet blir det minst verdi når sin (2X - PI/2) = -1

2X - PI/2 = 3*PI/2 + k * 2*PI

Her stemmer siste leddet 2*PI med uttrykket for for toppunkt, men første ledd er 3*PI/2.

Hva skjer her egentlig?

Prøvde å bla litt i boken og ble ikke så mye klokere. Greier fint å regne det ut, men skjønner ikke helt hva jeg gjør.

[mikki155]

Er det slik at [tex]x \in [3\pi, 4\pi][/tex] ?

Som du gjorde, fikk du løsning for toppunkt:

[tex]2x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}[/tex]

Så er jo utfordringen å forklare hvorfor man får leddet [tex]k \cdot 2\pi[/tex], og da må du tenke på enhetssirkelen.

Jeg antar du er kjent med enhetssirkelen, og da er du vel med på at sinv kan uttrykkes som en horisontal linje i koordinatsystemet? Hvis du har at sinv = 1, får du den horisontale linjen y = 1. Det vil si at vinkelen er [tex]\frac {\pi}{2}[/tex] radianer. Men hva skjer om du så går 360 grader rundt igjen? Da kommer du jo tilbake til sinv = 1, bare at du har addert 360 grader til den første vinkelen du fikk. Vi har altså gått et ekstra omløp, og har nå fått vinkelen [tex]\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac {5\pi}{2}[/tex]. Slik kan vi fortsette for alle omløp [tex]2\pi \cdot k[/tex], der [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]. Så går vi tilbake til start. Du fikk jo oppgitt at [tex]x \in [3\pi, 4\pi][/tex]. Det vil si at den minste verdien for x må være større enn [tex]3\pi[/tex] (9,42), og største mindre enn [tex]4\pi[/tex] (12,566). Da må du først regne ut for x, som blir:

[tex]x = \frac {\pi}{2} + k \cdot \pi[/tex]

Så setter du rett og slett bare inn verdier for k, og finner når den befinner seg i intervallet du fikk oppgitt. x-verdiene vil nødvendigvis gi verdier til toppunkt, i og med at vi regnet med omløpene til sinv = 1, slik jeg forklarte ovenfor.

[Johan Nes]

Heisann mikki,

Takk for et godt svar. Veldig godt forklart! Tror jeg er noenlunde med deg.

Ja, jeg er kjent med enhetssirkelen, men ikke intimt, da jeg gikk veldig fort gjennom stoffet på grunn av tidsmangel.

Kom på et annet spørsmål etter jeg postet. Bruker ikke man den andrederiverte for å finne toppunkter ved trigonometriske funksjoner? Utnytter man bare at funksjonen er størst/minst når sin = 1 og sin = -1?

Jeg tror jeg nå skjønner løsningen for toppunktet. Du uttrykker altså 1 som PI/2. Og da blir løsningen nettop PI/2 + k * 2PI (en runde).

Jeg jobbet videre med bunnpunktet i går og innså at jeg hadde problem der også. Du forklarte ikke hvorfor akkurat det uttrykket ble som det ble, men jeg tror jeg skjønner det nå.

f(x) har sin minste verdi når sin (2x - PI/2) = -1

Og sin -1 kan vi uttrykke som 3PI/2 (270 grader)?

Da får vi 2X - PI/2 = 3PI/2 + k * PI

Hopper over mellomregningene og kommer direkte til

X = PI + k * PI

Men her sier fasiten at vi ikke har bunnpunkt, men jeg kommer til at vi har det.

X = PI + 2 * PI = 3PI

Er det fordi 3PI ikke er med i definisjonsmengden når X e <3PI, 4PI>?

Samme for 4PI. Jeg trodde alt til og med 3PI,4PI var med eller grenser det til 3PI, 4PI? Eller er det noe annet jeg ikke skjønner?

[mikki155]

Du bruker ikke andrederivert, nei, da finner du hvor vendepunktet ligger. Men deriverer du funksjonen én gang, kan du analysere og finne toppbunkt/bunnpunkt. Men som du sier, trenger du bare med enkle trigonometriske funksjoner å finne for hvilken x-verdi f(x) har størst/minst verdi. Og siden sinv og cosv aldri kan bli større en 1, eller mindre enn -1, er det jo ganske enkelt.

Det er samme greia for bunnpunkt også, ja. Husk også at når -1 < sinv < 1, så får du to svar for vinkelen. Samme gjelder med cosv.

Og ja, når det står [tex]x \in <3\pi, 4\pi>[/tex], betyr det at x har intervall fra (ikke fra og med) [tex]3\pi[/tex] til (ikke til og med) [tex]4\pi[/tex]. Så siden du da fikk x-verdier [tex]3\pi[/tex] og [tex]4\pi[/tex], betyr jo det at de ikke er innenfor intervallet, og dermed finnes det ingen bunnpunkter her.

Hadde det stått [tex]x \in [3\pi, 4\pi][/tex], så hadde du fått bunnpunktene du fant i utregningen.

[Johan Nes]

Jeg mente førstederivert, my bad. Sitter nå med den andrederiverte for å finne vendepunkter.

Tusen takk, Mikki!

Nå er jeg 100% med. Har lært mye av deg og denne oppgaven.