R1, 1-ln x gir toppunkt?

[FlexXlutor]

Leter etter bunnpunkter/toppunkter i denne funksjonen [tex]f(x)=\frac{ln x}{x}[/tex] , deriverer funskjonen og får [tex]1- ln x[/tex] i teller. Finner deretter nullpunktet som er [tex]x=e[/tex].

Spørsmålet mitt er hvorfor får jeg et toppunkt og ikke bunnpunkt i [tex]x=e[/tex]? Er det slik at siden det er [tex]1- ln x[/tex] og ikke [tex]1+ ln x[/tex] at [tex]x[/tex] er positiv [tex]0<x<e[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Det er tre måter klassiske måter å klassifisere punkter hvor den deriverte er null på.
I alle tilfellene under antar vi at for en gitt $x=a$ så er $f'(a)=0$.

1. Dersom $f''(a)>0$ så er $( a , f(a) )$ er bunnpunkt
Dersom $f''(a)<0$ så er $( a , f(a) )$ er toppepunkt
Ellers så er $( a , f(a) )$ et trappespunkt / saddelpunkt (eksempelvis $x^3$ for $x=0$)

2. Lag et fortegnsskjema og drøft nullpunktene =) (Google it)

3. Tegn figuren og se om punktet ditt er topp eller bunn

Du kan jo prøve deg på noen av metodene ovenfor og se hva du får, det er generelt sett
vanskelig å bare se ut i fra funksjonen om et punkt er topp eller bunn.

Angående ditt konkrete spørsmål så er $\ln x < 0$ når $0 < x < 1$ ja. Som du kan si mer
formelt via et fortegnsskjema =)

[FlexXlutor]

Takk
Skjønner nå. Må rett og slett bare sjekke kalkulatoren neste gang jeg er usikker. Skjønte ikke helt istad at [tex]1-ln x =0, når x=e.[/tex] Og dermed Vil det være positivt mellom [tex]0[/tex] og [tex]e[/tex] ettersom ln til et tall mellom [tex]0>e[/tex] er mindre en 1

[Nebuchadnezzar]

Enkleste blir å tegne, alternativt så har en en mer fancy forklaring.

Alle tall mellom $0$ og $1$ kan skrives som $f(a) = e^{-a}$ hvor $a \geq 0$. (Tenk litt over dette hva skjer når $a=0$?, hva skjer når $a$ vokser over alle støvleskaft og går mot uendelig?)

Slik at for $0<x<1$ så kan $\ln x $ skrives som

$\ln x = \ln e^{-a} = - a \ln e = -a$

Altså er $\ln x$ negativ for alle verdier mellom $0$ og $1$, tilsvarende så er $\ln x$ positiv for alle $x$ større enn $1$.

At $\ln e = 1$ er egentlig irrelevant når vi bare ønsker å se på hvor funksjonen er positiv eller negativ.

[FlexXlutor]

Tror nøkkelen min i første omgang ligger i, som du skriver: "Altså er lnx negativ for alle verdier mellom 0 og 1, tilsvarende så er lnx positiv for alle x større enn 1."

Har jeg det i bakhodet blir det enkelt å føre riktig positiv/negativ verdi i fortegnsskjema! Skal bruke mer tid på disse sidene og prøve å forstå mer rundt matematikkens mange fascinerende aspekter, vel å merke etter eksamen