Derivasjonsoppgave R1?

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg sliter litt med en derivasjonsoppgave i eksamenssettet for høsten 2010 R1.

Oppgave 7c)

Vis at arealet av trekanten OAB er:

[tex]F(a)= \frac{81}{2} * \frac{1}{a\sqrt{9-a^2}}[/tex]

Denne har jeg løst.

Oppgave 7d) Bestem F'(a) og bruk denne til å finne den eksakte verdien for a som gjør at arealet av trekanten blir minst mulig.

Her står jeg fast og får ikke til å derivere uttrykket. Jeg har sett på flere løsningsforslag og de gjør det på ulike måter. Ingen jeg greier å henge helt med på.

Jeg skjønner at derivasjon av uttrykket er et tilfelle av [tex]\frac{u}{v} = \frac{u{}'*v - u * v{}'}{v^{2^{}}}[/tex]

Det jeg egentlig sliter med er vel derivasjon av nevneren i uttrykket.

Har litt dårlig med tid frem til eksamen, så håper noen smarte hoder har lyst å hjelpe.

På forhånd takk!

Mvh

Johan Nes

[Johan Nes]

Jeg har også et spørsmål om konstanter i forbindelse med derivasjon av uttrykk.

Hva er regelen her? Dette er noe jeg tydeligvis har gått glipp av eller glemt. I løsningsforslagene ser det ut som 81/2 blir satt utenfor og ikke derivert.

Et annet uttrykk i en annen oppgave: 2(x+1)(x-3) --> Her blir parentesene derivert med produktregelen, mens 2 står igjen uberørt og tydeligvis er en konstant. Men jeg skjønner det ikke helt.

Mener bestemt på at jeg har derivert lignende uttrykk hvor "alt" blir derivert.

[Nebuchadnezzar]

Regelen her er at konstanter kan settes utenfor derivasjonen, dette kan en eksempelvis se via produktregelen.
Anta vi har et uttrykk å formen $h(x) = C \cdot f(x)$, hvor $C$ er en konstant. Da gir produktregelen oss at

$
h'(x) = C' \cdot f(x) + C \cdot \big( f(x) \big)'
= 0 + C \cdot f'(x)
= C \cdot f'(x)
$

Hadde en brukt en annen type notasjon for derivasjon som en lærer senere ville en sett dette enda klarerere.
Altså en "slipper" å derivere konstanter siden vi vet at når vi deriverer en konstant får vi null.

Angående derivasjonen så kan jeg vise deg den, men husk at dette er på Del II av eksamen hvor du har lov å benytte deg av digitale
hjelpemidler og kalkulator. Du trenger altså ikke derivere for hånd, så lenge det går klart frem av besvarelsen hvordan du fant den deriverte.

"Brukte Maple, definerte først F(a) := ... "

[Johan Nes]

Takk, Nebuchadnezzar.

Vedrørende digitale hjelpemiddel, hvordan ville du løst oppgaven?

Jeg kan ikke med Maple og tviler på det er verdt å begynne å lære det nå så kort tid før eksamen?

Tegnet inn funksjonen i Geogebra og deriverte den der, men fikk et annet uttrykk en fasiten i eksamensheftet mitt.

Har et inntrykk av at de ber om at det skal vises med regning ("Bestem F'(A)"), men mulig jeg misforstår? Om jeg kan bruke digitale hjelpemiddel, kunne jeg vel egentlig tegnet inn F'(A) og funnet nullpunktet grafisk?

Mulig det finnes en funksjonalitet i Geogebra hvor jeg kunne løst det ved "regning" også.

[Nebuchadnezzar]

Er nok ikke vits å lære seg før eksamen, og hva en bruker er jo vilkårlig så lenge en klarer å gjøre det oppgaven spør etter..

1. Via Maple 14 ville jeg ha løst oppgaven slik



2. Via Geogebra 4 ville jeg løst oppgaven slik



Legg så merke til at $f'(x)=0$ når teller er null og
likningen $- 162 x^2 = - 729$, burde gå greit å løse for hånd. VIKTIG å alltid ta med EKSAKTE svar + tilnærming.

3. For hånd ville jeg løst oppgaven slik

Legg merke til at

$ \displaystyle
F(a) = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a \sqrt{9 - a^2}}
= \frac{81}{2} \cdot \sqrt{ \frac{1}{a^2(9 - a^2)} }
$

Slik at $F(a)$ er minst når $G(a) = 1/[a^2(9-a^2)]$ er minst. Derivasjon av sistnevnte gir


$ \displaystyle
G'(a) = \frac{0 - [18a - 4a^3]}{[a^2(9-a^2)]^2}
= 2 \cdot \frac{2a^2 - 9}{a^3(9-a^2)^2}
$

Som og gir at $a^2 = 9/2$ som før.

[Johan Nes]

Takk for bra svar, Nebuchadnezzar!

Jeg faller litt av på eksempelet med utregning, men det får gå. Jeg tar Geogebra-varianten.

Bruker du Geogebra noe selv i dine studier eller er det Maple all the way? Får heller se litt på Maple i sommer.

Slenger inn et annet derivasjonsspørsmål.

(e^x)' = e^x

Sant?

Men hvorfor blir (e^-x)' = e^-x * -1 ?

Dette ser jo ut som om det er kjerneregelen som er i bruk, men hvorfor? Er dette regelen, (e^kx)' = k*e^kx og så blir negativt fortegn regnet som k(-1)?

[fuglagutt]

Det er den regelen ja, med k = -1

[Aleks855]

Jepp, fordi [tex]k = (-1)[/tex]

[Johan Nes]

Takker folkens.

"Brant" meg litt på den i dag og forstod ikke helt hva som skjedde med en gang. Bra jeg fant ut nå og ikke på onsdag.

[Johan Nes]

Yikes! Ser over gamle oppgaver og ser at jeg har derivert SVÆRT lite brøker. I hvert fall av denne varianten.

[tex]\frac{\sqrt{3}}{36}*x^2[/tex]

Bruker man både brøkregel, produktregel og kjerneregel her?

Har gjort et par forsøk, men det går ikke bra. Kjenner jeg er ganske trøtt, så jeg skylder LITT på det.

[fuglagutt]

Mangler du noe her? For her har du bare en konstant multiplisert med x^2 altså bare vanlig polynomderivasjon

[Johan Nes]

Hele uttrykket er som følger:

[tex]F(x)= \frac{1}{16}(10-x)^2 + \frac{\sqrt{3}}{36}x^2[/tex]

Første ledd er greit. Enkel derivasjon med kjerneregel.

Ledd 2 er hvor jeg faller av.

[Steinbiten]

Ingenting spesielt der vel? [tex]{\left (\frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \right )}' = \frac{\sqrt{3}}{36}2*x = \frac{\sqrt{3}}{18}x[/tex]

[ettam]

[tex]\large(\frac{\sqrt{3}}{36}x^2\large)^\prime = \frac{\sqrt{3}}{18}x[/tex]

Ser du hvorfor?

[ettam]

Ingenting spesielt der vel? [tex]\frac{\sqrt{3}}{36}x^2 = 2*\frac{\sqrt{3}}{36}x = \frac{\sqrt{3}}{18}x[/tex]

Er vel glemt noe her?

[tex]\frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \ne 2*\frac{\sqrt{3}}{36}x = \frac{\sqrt{3}}{18}x[/tex]