matematikk.net

Dette beviset for L´Hôpitals regel for "0/0" står i Lindstrøms Kalkulus. Jeg skjønner det ikke helt...

Dersom f og g ikke er definert i a (eller er definert, men ikke kontinuerlige), kan vi utvide f og g til kontinuerlige funksjoner i a ved å sette $f(a)=g(a)=0$. Ifølge Cauchys middelverdisetning finnes det en c mellom x og a slik at $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. Når x går mot a, må c også gå mot a, og dermed er $\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \rightarrow a}\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Det første jeg ikke skjønner, er det med å "utvide" f og g. Hvorfor kan man gjøre dette? Vil ikke det endre f og g?

Det andre jeg ikke skjønner, er den siste likheten. På venstresiden står det grenseverdien når x går mot a. På høyresiden grenseverdien når c går mot a. Jeg skjønner jo, som det står i beviset, at når x går mot a, så gjør c det også. Men det er jo likevel to forskjellige variabler. Jeg ser ikke at det er så "opplagt" at det går an å gjøre slikt...

For at vi skal ha et uttrykk på "udefinert form" er det to muligheter. Enten så er uttrykket på 0/0 form, ellers så er uttrykket på $\infty/\infty$ form.
Beviset il Lindstrøm fokuserer på førstnevnte, og da følger vel resten naturlig. Eventuelt kan du se på wikipedia siden

http://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule

Greit bevis der og.

Determined wrote:Det første jeg ikke skjønner, er det med å "utvide" f og g. Hvorfor kan man gjøre dette? Vil ikke det endre f og g?

Å utvide f og g vil selvfølgelig endre funksjonene, men dette er bare en formalitet. Premisset for at dette beviset skal virke er at [tex]\lim_{x\to a} f(x) = 0[/tex] og [tex]\lim_{x\to a} g(x) = 0[/tex], og at [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] er kontinuerlig i et område nær a, men det er ingen garanti for at funksjonene er kontinuerlig på a. Vi kan for eksempel ha [tex]f(x) = x^2[/tex] for [tex]x \neq 0[/tex] og [tex]f(x) = 7[/tex] for [tex]x=0[/tex]. For å evaluere en grenseverdien [tex]\lim_{x\to a} f(x)[/tex] er det ikke nødvendig at [tex]f(x)[/tex] er definert ved punktet [tex]x=a[/tex], siden grenseverdien ikke avhenger av [tex]f(a)[/tex]. Nettopp fordi grenseverdien er uavhengig av funksjonenes verdi ved a, kan vi definere [tex]f(a)[/tex] og [tex]g(a)[/tex] på en slik måte at de er kontinuerlige på a.

Angående den siste likheten, så vil jeg anbefale deg å analysere den ved hjelp av den formelle definisjonen av grenseverdier. Det vil hjelpe deg til å forstå hvorfor grenseverdiene er den samme, selv om det er ulike variabler på hver side av likhetstegnet.

jhoe06 wrote:Å utvide f og g vil selvfølgelig endre funksjonene, men dette er bare en formalitet. Premisset for at dette beviset skal virke er at [tex]\lim_{x\to a} f(x) = 0[/tex] og [tex]\lim_{x\to a} g(x) = 0[/tex], og at [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] er kontinuerlig i et område nær a, men det er ingen garanti for at funksjonene er kontinuerlig på a. Vi kan for eksempel ha [tex]f(x) = x^2[/tex] for [tex]x \neq 0[/tex] og [tex]f(x) = 7[/tex] for [tex]x=0[/tex]. For å evaluere en grenseverdien [tex]\lim_{x\to a} f(x)[/tex] er det ikke nødvendig at [tex]f(x)[/tex] er definert ved punktet [tex]x=a[/tex], siden grenseverdien ikke avhenger av [tex]f(a)[/tex]. Nettopp fordi grenseverdien er uavhengig av funksjonenes verdi ved a, kan vi definere [tex]f(a)[/tex] og [tex]g(a)[/tex] på en slik måte at de er kontinuerlige på a.

Ah, ja dette skjønner jeg nå. Det er jo ganske lett da. Man definerer eventuelt $f(a)$ og $g(a)$ for å få argumentasjonen med grenseverdiene til å funke? Altså siden man argumenterer med verdien til (f.eks.) f når x går mot a (som da kan være udefinert eller ikke-kontinuerlig fra før av). Uten at det endrer uttrykkene. Jepp!

jhoe06 wrote: Angående den siste likheten, så vil jeg anbefale deg å analysere den ved hjelp av den formelle definisjonen av grenseverdier. Det vil hjelpe deg til å forstå hvorfor grenseverdiene er den samme, selv om det er ulike variabler på hver side av likhetstegnet.

Jeg tror kanskje jeg har forstått dette nå. Hvis man først ser på $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$, så skal denne være lik $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ for en eller annen c. Høyresiden kan regnes som en konstant. Så i henhold til definisjonen av grenseverdier så må vi ha at for ethvert tall $\epsilon > 0$ finnes et tall $\delta > 0$ slik at $|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f'(c)}{g'(c)}| < \epsilon$ slik at $0 < |x-a|<\delta$. Hvis vi nå snur dette på hodet, så må det også finnes for ethvert tall $\epsilon > 0$ finnes et tall $\delta > 0$ slik at $|\frac{f'(c)}{g'(c)}-\frac{f(x)}{g(x)}| < \epsilon$ slik at $0 < |c-a|<\delta$. Det siste blir jo, siden x og c nærmer seg hverandre, det samme som $0 < |x-a|<\delta$. Og $|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f'(c)}{g'(c)}| = |\frac{f'(c)}{g'(c)}-\frac{f(x)}{g(x)}|$. Det er ikke noe fullverdig bevis, men jeg er kanskje inne på noe...

Takk for svar!

Determined wrote: Ah, ja dette skjønner jeg nå. Det er jo ganske lett da.

Glad jeg kunne hjelpe!

Determined wrote: Jeg tror kanskje jeg har forstått dette nå. Hvis man først ser på $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$, så skal denne være lik $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ for en eller annen c. Høyresiden kan regnes som en konstant. Så i henhold til definisjonen av grenseverdier så må vi ha at for ethvert tall $\epsilon > 0$ finnes et tall $\delta > 0$ slik at $|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f'(c)}{g'(c)}| < \epsilon$ slik at $0 < |x-a|<\delta$. Hvis vi nå snur dette på hodet, så må det også finnes for ethvert tall $\epsilon > 0$ finnes et tall $\delta > 0$ slik at $|\frac{f'(c)}{g'(c)}-\frac{f(x)}{g(x)}| < \epsilon$ slik at $0 < |c-a|<\delta$. Det siste blir jo, siden x og c nærmer seg hverandre, det samme som $0 < |x-a|<\delta$. Og $|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f'(c)}{g'(c)}| = |\frac{f'(c)}{g'(c)}-\frac{f(x)}{g(x)}|$. Det er ikke noe fullverdig bevis, men jeg er kanskje inne på noe...

Du er inne på noe, men det blir vel ikke helt riktig å betrakte [tex]\frac{f'(c)}{g'(c)}[/tex] som konstant, siden c avhenger av x. Videre ønsker du å vise at hvis [tex]\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L[/tex], så er [tex]\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L[/tex]. La oss se på grenseverdien fra høyre. Dersom [tex]\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} = L[/tex] har vi at for ethvert tall [tex]\epsilon > 0[/tex] kan vi finne en [tex]\delta > 0[/tex] slik at for alle [tex]x\in (a,a+ \delta)[/tex], har vi at [tex]|\frac{f(x)}{g(x)} - L| < \epsilon[/tex]. Men for slike x kan vi finne en c slik at [tex]a<c<x<a+\delta[/tex] og slik at [tex]\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x)}{g(x)}[/tex]. Da har vi også at [tex]|\frac{f'(c)}{g'(c)} - L| < \epsilon[/tex] osv..

Hm, ja nå skjønner jeg. Vi kan "bytte om" $\frac{f(x)}{g(c)}$ med $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ pga. likheten. Og siden $a < c < x$ er også $|c-a| < \epsilon$.

Håper jeg lærer endel av av å ikke bare "kopiere" det som står i boka, da.