matematikk.net

Hei!

Jeg skal finne den inverse funksjonen og løser derfor først med hensyn på x, men i løsningsforslaget snur de en brøk uten at jeg helt forstår hvorfor.. Antar at det har noe med minusen foran x på venstre side å gjøre(?) men ser ikke hvilke regler/formler som benyttes ved den omformingen?

Kan ta det herfra:

$\displaystyle -x\ln2 = \ln(\frac{100-y}{y})$

Deler på ln2

$\displaystyle -x = \frac1{\ln2}\cdot\ln(\frac{100-y}{y})$

Ganger med -1.

$\displaystyle x = \frac1{\ln2}\cdot-\ln(\frac{100-y}y)$

Herfra brukes regelen om at $\displaystyle \ln\frac ab = -\ln \frac ba$

$\displaystyle x = \frac1{\ln2}\ln(\frac y{100-y})$

Ved de vanlig logaritmereglene har vi at [tex]\log{\frac{x}{y}}=\log{x}-\log{y}=-(\log{y}-\log{x})=-\log\frac{y}{x}[/tex]
Eventuelt [tex]-\log{\frac1{x}}=\log{x}[/tex]

Så når [tex]-x\log{2}=\log{\frac{100-y}{y}}[/tex] og vi ganger med minus 1 på begge sider får vi

[tex]x\log{2}=-\log{\frac{100-y}{y}}=\log{\frac{y}{100-y}}[/tex]

Her har jeg brukt log i stedet for ln men det gjør ingen forskjell.

Siden alle har elektroniske kalkulatorer har kanskje den opprinnelige hensikten med log forsvunnet. Den gangen en kalkulator var en person og ett yrke, var logaritmen brukt nettopp til å erstatte divisjon med minus, og gange med pluss, så en brøkinversjon blir bare et fortegnsskifte.

Kanskje denne hensikten gjøre det enklere å huske regnereglene for logaritmer slik at det ikke bare blir huskeregler.

Skjønner! Tusen takk for hjelpen!