matematikk.net

Har fått i oppgave å evaluere polynomet $\displaystyle 1-x+x^2-x^3+x^4 \dots +x^{98}-x^{99}$ ved $\displaystyle x=1.00001$, og dermed finne et lettere, ekvivalent uttrykk.

Jeg har, med min null-erfaring med summer, kommet frem til at uttrykket må være ekvivalent med $\displaystyle \sum_{k=0}^{99} (-1)^kx^k$, men finnes det en måte å skrive dette enklere på? Som sagt har jeg ingen erfaring med å løse slike summer.

Eksempelvis har vi sett at summen $\displaystyle 1+x+x^2+x^3 +\dots + x^{50} = \frac{x^{51}-1}{x-1}$, men det ble gitt i oppgaveteksten, og er ikke noe jeg fant ut selv.

Matlab står sentralt i kurset, så jeg antar at dette kan/skal brukes.

Dette her er det som kalles en geometrisk rekke, så du kan skrive summen av den rekken som et uttryk, ikke veldig forskjellig fra det du har for den andre rekken, du kan se på dette:
http://no.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_rekke

Legg merke til at $(y^{99}+y^{98}+...+y+1)\cdot (y-1) = (y^{100}+y^{99}+...+y)-(y^{99}+y^{98}+...+y+1) = y^{100}-1$, så
$y^{99}+y^{98}+...+y+1=\frac{y^{100}-1}{y-1}$. Bruk dette til å finne et pent uttrykk for polynomet i oppgaven. (hint: bytt ut y med et polynom i x)



Alternativt:

Legg merke til at $(-x^{99}+x^{98}-...-x+1)\cdot (x+1) = -x^{100}+x^{99}-x^{98}+...-x^2+x -x^{99}+x^{98}-x^{97}+...-x+1 = -x^{100}+1$

Ah, det du sier var jo genialt. Ganske likt det jeg kom frem til, bare med en annen metode.

Jeg fant ut at dersom jeg bare skulle drøfte uttrykket i punktet $\displaystyle x=1.00001$ så var dette ekvivalent med punktet $\displaystyle x=-1.00001$ som gjorde alle leddene positive likevel. Så $\displaystyle -x = -(-1.00001) = |x|$ og således for alle ledd med odde eksponent. De med like eksponent blir jo uansett positive, as well you know. Dermed kunne det forenkles til $\displaystyle \sum_{k=0}^{99}x^k = \frac{x^{100}-1}{x-1}$

Likte din metode hakket bedre. Jeg burde være flinkere på å prøve slike ting.

Dette får jeg ikke til å stemme, av følgende årsak:

$ \displaystyle (1-x+x^2-x^3+x^4 \dots +x^{98}-x^{99}) - (1-(-x)+(-x)^2-(-x)^3+(-x)^4 \dots +(-x)^{98}-(-x)^{99}) = -2(x+x^3 + \dots + x^{99}) \neq 0 $

Dette betyr nok også at uttrykket du kom frem til for summen heller ikke stemmer. Kanskje du bør lese plutarco sin post en gang til, for det virker som om du har oversett noe.

Mulig jeg ordla meg feil der. Det jeg mente var at dersom man er ute etter verdien for en x=a der a>0, så kan man bruke x=-a i stedet slik at alle leddende blir positive.

$\displaystyle 1-a+a^2-a^3+\dots+a^{98}-a^{99} = 1-(-a)+(-a)^2-(-a)^3+\dots+(-a)^{98}-(-a)^{99} = 1+a+a^2+a^3+\dots+a^{98}+a^{99} = \frac{a^{100}-1}{a-1}$

Dette stemmer vel?

Aleks855 wrote:Det jeg mente var at dersom man er ute etter verdien for en x=a der a>0, så kan man bruke x=-a i stedet slik at alle leddende blir positive.


$ \displaystyle 1-a+a^2-a^3+\dots+a^{98}-a^{99} = 1-(-a)+(-a)^2-(-a)^3+\dots+(-a)^{98}-(-a)^{99} $

Hvis du bruker $ x = -a $ vil jo summen få en annen verdi enn for $ x = a $. Hvordan får du likhet her?

Hmm, ja jeg ser formuleringa fremdeles er litt shaky, men jeg ser ikke hvordan jeg skal rette den opp.

Det jeg mener er at $\displaystyle \sum_{k=0}^{99}(-1)^ka^k = \sum_{k=0}^{99}(-a)^k$

Men jeg ser jeg har skrevet ut høyresida på feil måte. Poenget var hvertfall at hvis man eksempelvis skal evaluere venstresida i a=2, så kan man heller evaluere høyresida i a=(-2) som gir

$\displaystyle 1-(-2)+(-2)^2-(-2)^3+\dots +(-2)^{98}-(-2)^{99} = 1+2+2^2+2^3+\dots+2^{98}+2^{99}$

Men jeg ser ikke hvorfor dette ikke bare kan gjøres på venstresida istedet.

Jeg er helt enig i at $ \displaystyle \sum_{k=0}^{99} (-1)^k(a)^k = \sum_{k=0}^{99} (-a)^k $. Det jeg ikke er enig i er at du kan bytte ut $ a $ med $ - a $, fordi $ \displaystyle \sum_{k=0}^{99} (-a)^k \neq \sum_{k=0}^{99} (-(-a))^k = \sum_{k=0}^{99} a^k $.

Hvis det du sier er riktig burde du kunne bruke det samme trikset på enklere tilfeller som $ 1 - x $ eller $ 1 - x + x^2 - x^3 $. Plugger du inn $ a \neq 0 $ og $ - a $ får du to forskjellige verdier.