matematikk.net

Oppgave10
a) regn ut 1, 1+3, 1+3+4+5, 1+3+4+5+7, 1+3+4+5+7+9 og lag en hypotese om summen av de n første oddetallen.
Jeg ser for meg at formelen blir n^2 og at min hypotese er at n^2 blir et oddetall når n er et oddetall.
Jeg har også brukt summe tegn, summen av n^2 fra 1 til n, men ser for meg at den blir feil.
b) Bevis hypotesen.
jeg har her funnet ut at P1 blir et oddetall og antatt at Pk er sann også funnet ut at det medfører Pk+1
Men ser for meg at jeg ikke gjør ting på en riktig måte .
Jeg vet ikke hva jeg skal gjøre med det summetegnet i denne oppgaven og hvordan jeg skal bruke induksjonsprinsippet i denne oppgaven

Oppgave16
n er et naturlig tall og S(n) er antall måter vi kan skrive n som en sum av naturlige tall. S(4) =8 siden 4 kan skrives som en su på disse måtene.
4, 3+1, 2+2, 1+3, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1
Regner med summer med bare ett ledd(slik som4) og at vi regner summer som 2+1+1 og 1+2+1 der rekkefølgen er byttet om som forskjellige. Finn (og bevis!) en enkel formel for s(n). Jeg ser for meg at formelen blir s(n) = 4m/2=2m(eller n). Hvordan jeg skal bruke induksjon på denne oppgaven vet jeg ikke. Jeg vil anta at det skal være
slik at summen fra et start tall til et slutttall av et uttrykk og så skal bli lik noe og at det er det som skal bevises. Hvordan det skal gjøres på denne oppgaven og den foregående skjønner jeg ikke. Jeg tror jeg forstår induksjonsprinsippet men får ikke til å bruke det på disse 2 oppgavene.

delkapittel: 1.5
Oppgave 9
Bevis at P(x) = K(x)*Q(x)+R(x) for alle x ved polynomdivisjon.
Jeg er litt usikker på hva som skal bevises her og får heller ikke til beviset.

Hensikten med både oppgave 10 og 16 er at man ikke blir gitt formelen som skal bevises på forhånd. Man skal derimot observere hva som skjer
med forskjellige verdier og gjøre en god gjetning og deretter se om gjetningen holder vann ved å prøve å gjennomføre et induksjonsbevis.

Du misforstår nok litt når du skriver at hypotesen din er at hvis n er oddetall er n^2 oddetall. Oppgaven er kun ute etter å lage en hypotese
om hva summen kan være i lukket form.

Du observerer altså at for de første verdiene av n blir summen et kvadrattall som gjør det rimelig å prøve seg frem med hypotesen:

[tex]\sum_{i=1}^n{2i-1}=n^2[/tex]

Du har jo allerede sjekket at hypotesen holder for n=1 så det gjenstår å vise at hvis hypotesen er sann for [tex]n=k[/tex] er den sann for [tex]n=k+1[/tex]
(induksjonssteget).

Så vi starter med summen til n+1 og må finne en måte å bruke antakelsen vår.

[tex]\sum_{i=1}^{k+1}{(2i-1)}=\sum_{i=1}^k{(2i-1)}+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2[/tex]

Så dette medfører at hypotesen er sann. I den første overgangen dra jeg ut det siste tallet i summen slik at vi står igjen med den samme summen
fra induksjonshypotesen som er nettopp det vi ønsker.

Oppgave 16 er muligens litt verre. Test litt flere verdier av n og se hvilke tall du får før du lager en hypotese. Holder den for [tex]n=1,2,3,4[/tex] er det antakeligvis
riktig. For å faktisk kunne gjennomføre et induksjonsbevis må du finne en måte å relatere S(n) til tidligere verdier.

Om jeg har misforstått deg eller noe er uklart så bare si ifra Det kan ta litt tid å bli vant med summetegn notasjon, men det er både
mer oversiktlig og mer effektivt når man gjør det.