matematikk.net

Heisann!

By applying the Mean-Value Theorem to [tex]f(x)=cosx+\frac{x^2}{2}[/tex] on the interval [tex][0,x][/tex] and using the result of Example 2 (Example 2 viser at [tex]sinx<x[/tex] for alle [tex]x>0[/tex]) show that

[tex]cosx>1-\frac{x^2}{2}[/tex]

for [tex]x>0[/tex]. This inequality is also true for [tex]x<0[/tex]. Why?

Jeg tror jeg har forstått Mean-Value Theorem, men jeg sliter med å forstå hvordan jeg skal bruke den i praksis. Det jeg prøvd så langt var rett og slett å putte inn verdiene inni definisjonen:

[tex]\frac{(cosx+\frac{x^2}{2})-(cos0+0)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c)=-sinc+c[/tex]

Jeg virkelig liker/forstår ikke sånne logikk/bevis oppgaver. Jeg håper noen kan hjelpe meg med den oppgaven og gjøre det litt klarere hvordan Mean-Value Theorem fungerer.

Jeg gjorde første del slik:

[tex]f'(x) > 0[/tex]

[tex]-sinx + x > 0[/tex]

[tex]x > sinx[/tex] (stemmer med eksempelet, forutsetning). Du vet også da at [tex]c > sinc[/tex], siden [tex]x > 0[/tex], og at [tex]\frac {cosx + \frac {x^2}{2} - 1}{x} = -sinc + c[/tex] (bruker teoremet her).
Det betyr at:

[tex]\frac {cosx + \frac {x^2}{2} - 1}{x} > 0[/tex]

[tex]c - \frac {cosx + \frac {x^2}{2} - 1}{x} < c[/tex]

Uttrykket ovenfor er ekvivalent med:

[tex]c + sinc - c < c[/tex]

[tex]sin c < c[/tex]

Det betyr at ulikheten holder, og den kan du få hvis du omformerer [tex]\frac {cosx + \frac {x^2}{2} - 1}{x} > 0[/tex]. Det betyr at ulikheten holder for alle [tex]x > 0[/tex] (hvis og bare hvis [tex]sinx < x[/tex] for [tex]x > 0[/tex]). Det gikk litt fort her, men har dårlig tid.
Du kan selv prøve for [tex]x < 0[/tex] mens jeg er på trening =)

Du er nesten i mål.

Av ulikheten $ \sin x < x $ følger det at $ - \sin x + x > 0 $. Hva kan du nå si om $ \frac{f(x) - f(0)}{x} $ ?

Takk for svar! Skal se på den oppgaven igjen imorgen.