matematikk.net

Hei! Driver å jobber med kapittel 2.8 i Calculus 1 (Weir & Essex). Der finner man et bevis av følgende teorem: "dersom f er definert på (a,b) og når en maksverdi i punktet c i (a,b), og hvis f'(c) eksisterer, så vil f'(c)=0".

I beviset starter man med å anta at f har en maksverdi i punktet c. Siden f(c) er maksverdi må [tex]f(x)-f(c) \leq 0[/tex] når [tex]x \in (a,b)[/tex]. Nå kommer den delen hvor bokas argumentasjon ikke overbeviser meg helt: dersom c<x<b, så påstår boken at [tex]\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0[/tex] må gjelde. Men uttrykket kan vel aldri bli lik null? Vi kan velge x så nært vi bare ønsker c, men aldri lik. I tillegg vil uttrykket ikke være definert for x=c.

Konklusjonen av beviset baserer seg på at dette uttrykket kan være lik 0, så derfor føler jeg det er litt viktig å forstå hvorfor. Men det klarer jeg altså ikke per nå. Kan noen hjelpe meg på vei?

At $f$ oppnår sin maxverdi i $c$ er ikke det samme som å si at $c$ er det eneste punktet der $f$ når sin maxverdi. Det kan hende at det finnes et punkt $d$ i intervallet $(c,b)$ slik at $f(c) = f(d)$.

En periodisk funksjon som sinus oppnår sin maksverdi i mange punker.

Emomilol wrote:At $f$ oppnår sin maxverdi i $c$ er ikke det samme som å si at $c$ er det eneste punktet der $f$ når sin maxverdi. Det kan hende at det finnes et punkt $d$ i intervallet $(c,b)$ slik at $f(c) = f(d)$.

En periodisk funksjon som sinus oppnår sin maksverdi i mange punker.

Hva med funksjoner som bare har et unikt punkt? Vil ikke den deriverte være lik 0 i det punktet, da? :p

Det var ikke veldig overbevisende for meg heller, før jeg tenkte meg om litt. Start slik som du gjør ved å anta at $x_0$ er et lokalt maksimum. Da vet du at for et lite intervall rundt $x_0$, nemlig $I=(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon) \subset (a,b)$, så må vi ha at for verdiene $x \in I$, $f(x) \leq f(x_0)$. Dette er akkurat det samme som det første du har skrevet. Så fortsetter vi ved å se på:
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, for $|h| \leq \epsilon$. Siden $f'(x_0)$ eksisterer vet vi at når $h \to 0$, så vil dette konvergere mot den deriverte i maksimalpunktet. Vi kan nærme oss $h$ fra to forskjellige sider, ved å nærme oss $h$ fra den positive siden ser vi at $f'(x_0) \geq 0$, og ved å nærme oss $h$ fra den negative siden ser vi at $f'(x_0) \leq 0$. Dette betyr at $f'(x_0)=0$.