matematikk.net

Jeg tar et kurs i analyse på mangfoldigheter nå, og stusser litt over følgende definisjon:

En differensiabel $p$-form på $U \subseteq \mathbb{R}^n$ er en glatt avbildning $\omega: U \to \text{Alt}^p(\mathbb{R}^n)$.

Her betegner $\text{Alt}^p(V)$ vektorrommet av alle multilineære, alternerende avbildninger $V^p \to \mathbb{R}$.

Jeg vet hva det vil si at en funksjon mellom euklidske rom er glatt, men her er det altså snakk om en funksjon som har et ikke-euklidsk vektorrom som kodomene. Vi har derimot at $\text{Alt}^p(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{R}^m$, der $m = {n \choose p}$. Foreleseren sa at vi derfor kunne tenke på $\omega$ som en funksjon $U \to \mathbb{R}^m$ og deretter bruke definisjon av glatthet slik vi er vant til, men jeg har fremdeles litt problemer med å pønske ut hva dette kan bety rent eksplisitt. Kan det bety at man velger seg en isomorfi $\phi: \text{Alt}^p(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{R}^m$ og ser på hvorvidt komposisjonen $\phi \circ f : U \to \mathbb{R}^n$ er glatt? I så fall må man vel vise at dette gjelder uavhengig av isomorfi, og hvordan vil man i så fall definere den deriverte $D\omega$ ?

" Kan det bety at man velger seg en isomorfi ϕ:Altp(ℝn)→ℝm og ser på hvorvidt komposisjonen ϕ∘f:U→ℝn er glatt?"

Ja, det er riktig. Mer generelt: man velger et bestemt kart om punktet man ser på i U, fra et glatt atlas.

"hvordan vil man i så fall definere den deriverte Dω ?"

Det eksplisitte uttrykket for den totalderiverte vil være avhengig av den bestemte isomorfien du bruker. For isomorfien $\phi$ blir, den totalderiverte i punkt $p\in U$, $D(\phi\circ\omega)(p)$, altså Jacobimatrisen til komposisjonen $\phi\circ\omega:U\to\mathbb{R}^m$. Det er umulig å eksplisitt angi den totalderiverte uavhengig av koordinatkart/atlas.

"I så fall må man vel vise at dette gjelder uavhengig av isomorfi"

Ja, man må strengt tatt vise at glatthet av en avbildning er uavhengig av hvilket kart man bruker.

plutarco wrote:Ja, man må strengt tatt vise at glatthet av en avbildning er uavhengig av hvilket kart man bruker.

Men dette er så godt som innebygd i definisjonene av glatt atlas og glatt funksjon mellom mangfoldigheter, så man trenger ikke bevise dette på nytt for hver avbildning man ser på.

@Svinepels: Du kan like gjerne bevise en gang for alle at glatthet av en funksjon er uavhengig av valg av kart, basta.

espen180 wrote: Men dette er så godt som innebygd i definisjonene av glatt atlas og glatt funksjon mellom mangfoldigheter, så man trenger ikke bevise dette på nytt for hver avbildning man ser på.

Det er jeg fullt klar over.

plutarco wrote:

espen180 wrote: Men dette er så godt som innebygd i definisjonene av glatt atlas og glatt funksjon mellom mangfoldigheter, så man trenger ikke bevise dette på nytt for hver avbildning man ser på.

Det er jeg fullt klar over.

Det vet jeg at du er, og jeg mente ikke å antyde noe annet. Beklager hvis du oppfattet det slik. Hele innlegget var egentlig siktet på Svinepels.