matematikk.net

Kan noen forklare hvorfor [tex]arsechx = arcosh(\frac {1}{x})[/tex] ? Finner ingen forklaringer verken i boka eller på nettet..

hvis disse 2 kombineres med tilsarende y = cosh(1/x) så kommer du i mål

[tex]\text sech(y)=2/(exp(y)+(exp(-y))=x[/tex]

[tex]y=\text arsech(x)=\ln(1+\sqrt{(1-x^2})/x)[/tex]

Ok takk, skal se på det senere.

Da skriver jeg like så godt opp forholdet for oversiktens skyld. Hyperbol-funksjoner er ganske nytt for meg, så greit å få litt trening :p

[tex]sechx = \frac {1}{coshx}[/tex] [tex]= \frac {2}{e^x + e^{-x}}[/tex]

Finner først inversen:

[tex]x = \frac {2e^y}{(e^y)^2 + 1} = arsechx[/tex]

[tex]x(e^y)^2 - 2(e^y) + x = 0[/tex]

[tex]e^y = \frac {2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot x \cdot x}}{2x}[/tex] [tex]= \frac {1}{x} \pm \frac {\sqrt{4(1-x^2)}}{2x} =[/tex] [tex]\frac{1}{x} \pm \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]

[tex]e^y[/tex] kan ikke bli negativ, så [tex]0 < x \leq 1[/tex]:

[tex]e^y = \frac{1}{x} + \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]

[tex]y = ln(\frac{1}{x} + \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}) = arsechx[/tex]

Antar at [tex]arcoshx[/tex] er kjent, og da kan en se hva som skjer om en putter inn [tex]\frac{1}{x}[/tex] for [tex]x[/tex]:

[tex]arcosh(\frac {1}{x}) = ln(\frac {1}{x} + \sqrt{\frac {1}{x^2} - 1})[/tex]

Multipliserer kvadratrotuttrykket med [tex]\frac {\sqrt x^2}{x}[/tex]. Siden domenet for x allerede er definert, blir uttrykket alltid positivt. Dette gir:

[tex]arcosh(\frac {1}{x}) = ln(\frac {1}{x} + \frac {\sqrt {1-x^2}}{x})[/tex], som er lik [tex]arsechx[/tex] som var det som skulle vises.