matematikk.net

Under emnet "egenverdier og egenvektorer" er det en oppgave jeg rett og slett ikke skjønner i det hele tatt. Den er som følgende:

Let A be 2x2 matrix, and call a line through the orgin of R[sup]2[/sup] invariant under A if Ax lies on the line when x does. Find equations for all lines in R[sup]2[/sup], if any, that are invariant under the given matrix.

A, er matrisen, Hva spør de om og hvordan løser jeg det?

x er en vektor. Denne vektor gir ei linje som går gjennom origo. Vektoren [1,2] gir linja y=2x.
De spør etter vektorer som ganget med matrisa gir en ny vektor som ligger på samme linja. For at to vektorer skal ligge på samme linje må den ene være et multiplum av den andre.

Definisjonen på en egenvektor er at
Ax = kx Der A er ei matrise og k er en konstant og x er ulik nullvektor.

Dermed ser du at alle egenvektorer til matrisa har den egenskapen de spør etter.

Hm, akkurat, men jeg skjønner fortsatt ikke hvordan jeg skal løse den.

Du finner egenvektorene til A -matrisen og hvilke linjer disse gir (husk at de skal gå gjennom origo så konstantleddet er null).
Disse linjene er så svaret på oppgaven.

For å finne egenvektorene så finner man den k verdien som gir løsningen til likningen under. Dvs at determinanten til A-kI matrisa er null

(A-kI)x = 0

I ditt eksempel så blir det:


|4-k , -1 |
|2 , 1-k| = (4-k)(1-k) + 2 = 0

k^2 -5k +6 = 0

k = 2 og k = 3 som løsning

Setter disse to svarene inn i matrisene og finner løsningsrommet som gir en egenvektor.

k = 2 gir
2 -1
2 -1 som gir vektoren [1,2]

k= 3 gir [1,1] som løsningsrom.

Kan enkelt sjekke svaret ved å gange vektorene med matrisa.

A[1,1] = [3,3] = 3[1,1] altså er det en egenvektor.

Det vil si at vektorene [1,2] og [1,1] er egenvektorer til matrisa A. og linjene y = x og y = 2x er linjer som er invariant under A.

Ja! Nå skjønner jeg det, takk!