Invert funksjon - hjelp til å forstå
Posted: 20/09-2013 20:08
Hei. Har følgende oppgave:
Observerer at [tex]f'(x) = 3x^2 + 18x + b[/tex], og at denne deriverte altså må ha maksimalt ett nullpunkt.
For å finne ut hvilken b-verdi som gir kun ett nullpunkt, setter vi kvadratroten i andregradsformelen lik null. Altså:
[tex]\sqrt{18^2 - 4 \cdot 3 \cdot b} = 0 \, \Rightarrow \, 12b = 18^2 \, \Rightarrow \, b = 27[/tex]
Vi har altså funnet ut at den minste b-verdien som gjør [tex]f(x)[/tex] strengt stigende, er 27, så da må funksjonen være:
[tex]f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 3[/tex]
Neste del av oppgaven er å finne [tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(3)[/tex]
I matteboken står det en formel som sier:
[tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/tex]
Vi setter da [tex]f(x)[/tex] lik 3.
[tex]f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 3 = 3 \, \Rightarrow \, x^3 + 9x^2 + 27x = 0[/tex]
Her ser vi fort at [tex]x=0[/tex] er en mulig løsning. Siden funksjonen er strengt stigende, vet vi også at det er den eneste løsningen.
Vi har altså funnet at [tex]f(0) = 3[/tex]. Dette medfører at [tex]f^{-1}(3) = 0[/tex].
Vi har også at [tex]f'(0) = 3 \cdot 0^2 + 18 \cdot 0 + 27 = 27[/tex].
Altså:
[tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(3) = \frac{1}{f'(f^{-1}(3))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{27}[/tex]
Og dette svaret har vist seg å være riktig, noe jeg selvsagt er fornøyd med. Det er imidlertid én ting jeg ikke skjønner her;
Hvorfor setter vi [tex]f(x)=3[/tex] lenger oppi her (markert med fet skrift)? Jeg gjorde det intuitivt og av en eller annen grunn viste det seg å funke, men jeg skjønner ikke helt hvorfor. Kan noen forklare?
Og denne har jeg faktisk klart å løse, på følgende måte:Find the smallest number [tex]b[/tex] such that the function
[tex]f(x) = x^3 + 9x^2 + bx + 3[/tex]
is invertible.
Evaluate [tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(3)[/tex] using that [tex]b[/tex].
Observerer at [tex]f'(x) = 3x^2 + 18x + b[/tex], og at denne deriverte altså må ha maksimalt ett nullpunkt.
For å finne ut hvilken b-verdi som gir kun ett nullpunkt, setter vi kvadratroten i andregradsformelen lik null. Altså:
[tex]\sqrt{18^2 - 4 \cdot 3 \cdot b} = 0 \, \Rightarrow \, 12b = 18^2 \, \Rightarrow \, b = 27[/tex]
Vi har altså funnet ut at den minste b-verdien som gjør [tex]f(x)[/tex] strengt stigende, er 27, så da må funksjonen være:
[tex]f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 3[/tex]
Neste del av oppgaven er å finne [tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(3)[/tex]
I matteboken står det en formel som sier:
[tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/tex]
Vi setter da [tex]f(x)[/tex] lik 3.
[tex]f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 3 = 3 \, \Rightarrow \, x^3 + 9x^2 + 27x = 0[/tex]
Her ser vi fort at [tex]x=0[/tex] er en mulig løsning. Siden funksjonen er strengt stigende, vet vi også at det er den eneste løsningen.
Vi har altså funnet at [tex]f(0) = 3[/tex]. Dette medfører at [tex]f^{-1}(3) = 0[/tex].
Vi har også at [tex]f'(0) = 3 \cdot 0^2 + 18 \cdot 0 + 27 = 27[/tex].
Altså:
[tex]\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}f^{-1}(3) = \frac{1}{f'(f^{-1}(3))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{27}[/tex]
Og dette svaret har vist seg å være riktig, noe jeg selvsagt er fornøyd med. Det er imidlertid én ting jeg ikke skjønner her;
Hvorfor setter vi [tex]f(x)=3[/tex] lenger oppi her (markert med fet skrift)? Jeg gjorde det intuitivt og av en eller annen grunn viste det seg å funke, men jeg skjønner ikke helt hvorfor. Kan noen forklare?
Dette med at f(x)=y -> x=f^(-1)(y) forstår jeg. Men så henger ikke logikken min heeelt med når vi bare bytter om x og y igjen. Det vil si -- jo, jeg skjønner at man kan gjøre det, og hvorfor vi gjør det. Men med en gang vi skal begynne å regne med den inverse funksjonen igjen, så begynner hjernen min å overbelastes. Får det ikke til å gli naturlig slik jeg liker det. 