Skyer og bær wrote:vil noen kjapt vise hvordan man løser oppgaven?
Tja...
[tex]\tan ^2 (x) = \frac{\sin ^2 (x)}{\cos ^2 (x)} = \frac{\left( \sin (x) \right) \left( \sin (x) \right)}{\left( \cos (x) \right) \left( \cos (x) \right)}[/tex]
Setter:
[tex]u = \sin (x) \cdot \sin (x)[/tex]
[tex]v = \cos (x) \cdot \cos (x)[/tex]
Da blir:
[tex]u' = \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) = \underline{2 \sin (x) \cos (x)}[/tex]
[tex]v' = \cos (x) \cdot \left( - \sin (x) \right) + \left( - \sin (x) \right) \cdot \cos (x) = \underline{- 2 \sin (x) \cos (x)}[/tex]
[tex]f(x) = \frac{u}{v}[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \, - \, \sin (x) \cdot \sin (x) \cdot \left( - 2 \sin (x) \cos (x) \right)}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \, + \, \sin (x) \cdot \sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x)}[/tex]
Dette er kanskje litt tungvint skrevet, men det er for at du lett skal kunne se hva som kan trekkes ut, strykes, etc...
Vi fortsetter:
[tex]f'(x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cdot \left( \sin ^2 (x) + \cos ^2 (x) \right)}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x)} = \frac{2 \sin (x) \cancel{\cos (x)} \cdot 1}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cancel{\cos (x)}}[/tex]
Denne siste brøken kan skrives lettere som:
[tex]f'(x) = 2 \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos ^2 (x)} = \underline{\underline{\frac{2 \tan (x)}{\cos ^2 (x)}}}[/tex]
Forøvrig også kjent som [tex]2 \tan (x) \sec ^2 (x)[/tex] men man lærer vel ikke om sec-funksjonen (1/cos) i norsk VGS...
Håper du fulgte uten at det ble for komplisert!
