matematikk.net

Oppgave 1,189
Utstrålingsenheten M fra et himmellegeme er et mål for hvor mye energi som stråler ut fra en kvadratmeter av himmellegemet per sekund. Dersom vi måler overflatetemperaturen T i kelvin (K),
har vi

M = k ganger grunntall t eksponent 4.
der k = 5,67 ganger grunntall 10 eksponent minus 8 W/(m i andre potens ganger K i fjerde potens)

Sammenhengen mellom temperaturen T i kelvin og temperaturen t i celsiusgrader er gitt ved
T= 273 + t

a) For sola er M = 6,42 * grunntall 10 eksponent 7 W/m i andre potens.
Finn overflatetemperaturen på solen målt i
1) kelvin
2) celsiusgrader

Kilde: Cosinus forkurs, Cappelen.

Mitt svar stemte ikke med fasiten. Til min overraskelse nevnte fasiten et tall uten enhet.

Hva jeg gjorde
Skrev M = k ganger grunntall t eksponent 4.
Det settes i tall og måleenhet for henholdsvis M og k.

Regnestykket er både en brøk og en likning.

På venstre side av likningen
Teller 6,42 * grunntall 10 og eksponent 7 W
Nevner grunntall m og eksponent 2.

På høyre side av likningen
En brøk multipliseres med grunntall t eksponent 4.
Teller 5,67 * grunntall 10 eksponent minus 8 W
Nevner grunntall m eksponent 2 ganger grunntall K og eksponent 4.

Når likningen er satt opp:
1) Finner fellesnevner, skriver grunntall m eksponent 2 ganger grunntall k eksponent 4.
2) Det som er felles nevner, ganges på begge sider av likningen for å bli kvitt nevneren.

Nå ser likningen slik ut
Venstre side
Teller 5,67 * grunntall 10 eksponent minus 8 ganger grunntall T eksponent 4.
Nevner: 6,42 ganger grunntall 10 eksponent 7 ganger W.

Høyre side
Teller 6,42 * grunntall 10 eksponent 7 ganger W ganger grunntall K eksponent 4.
Nevner 6,42 ganger grunntall 10 eksponent 7 ganger W.

Divisjon ble brukt for å få K alene på venstre side av likningen.

På venstre side av likningen K i fjerde potens =
Høyre side av likningen
Teller 5,67 ganger grunntall 10 eksponent minus 1 ganger grunntall T eksponent 4
Nevner 6,42W

Grunntall K med eksponent 4. Tar fjerde kvadratrot av teller og nevner hver for seg.
På venstre side av likningen K
På høyre side av likningen
Teller 4-kvadratrot (0,567 ganger grunntall T eksponent 4)
Nevner 4-kvadratrot (6,42 ganger W)

K = 18,9220T
K tilnærmet lik 19 grader T.

Fasiten nevner 5801K
Hva i alle dager?

Hvor er feilen? Har jeg ikke tatt hensyn til
«…kvadratmeter av himmellegemet per sekund…»

Mange takk for hjelpen.

Buli wrote:Utstrålingsenheten $M$ fra et himmellegeme er et mål for hvor mye energi som stråler ut fra en kvadratmeter av himmellegemet per sekund. Dersom vi måler overflatetemperaturen $T$ i kelvin $(K)$, har vi
$$M = k \cdot t^4$$ der $k = 5.67 \times 10^{-8} W/(m^2 \cdot K^4)$.

Sammenhengen mellom temperaturen $T$ i kelvin og temperaturen $t$ i celsiusgrader er gitt ved $T = 273 + t$.

For sola er $M = 6.42 \times 10^7 W/m^2$. Finn overflatetemperaturen på solen målt i

1. kelvin
2. celsiusgrader

Mitt svar stemte ikke med fasiten. Til min overraskelse nevnte fasiten et tall uten enhet.

Hva jeg gjorde:
Skrev $M = k \cdot t^4$.
Det settes inn tall og måleenhet for henholdsvis $M$ og $k$.

Regnestykket er både en brøk og en likning.
$$\frac{6.42 \times 10^7 W}{m^2} = \frac{5.67 \times 10^{-8} W}{m^2 \cdot K^4}t^4$$ Når likningen er satt opp:

1. Finner fellesnevner, skriver $m^2 \cdot k^4$.
2. Det som er fellesnevner ganges på begge sider av likningen for å bli kvitt nevneren.

Nå ser likningen slik ut
$$\frac{5.67 \times 10^{-8}T^4}{6.42 \times 10^7W} = \frac{6.42 \times 10^7W \cdot K^4}{6.42 \times 10^7W}$$ Divisjon ble brukt for å få $K$ alene på venstre side av likningen.
$$K^4 = \frac{5.67 \times 10^{-1}T^4}{6.42W}$$ Tar fjerderot av teller og nevner hver for seg.
$$K = \frac{\sqrt[4]{0.567T^4}}{\sqrt[4]{6.42W}}$$ $K = 18.9220T$
$K \approx 19$ grader $T$.

Fasiten nevner $5801K$.

Hei!

Underveis begynner du å løse for $K$, som er en enhet, uttrykt med $t$, som er en ukjent (som etterhvert blir til $T$ uten at du bruker sammenhengen mellom $t$ og $T$), når du skal gjøre det omvendte. Det er også mystisk hvordan fjerderoten av $W$ forsvinner i den nest siste overgangen.

Hvis du prøver deg på $T = \sqrt[4]{\frac{M}{k}}$ og $t = T - 273 = \sqrt[4]{\frac{M}{k}} - 273$ vil det nok gå mye bedre.