matematikk.net

Tenkte jeg skulle løse noen integral, alt vel så langt, åpner boka, prøver litt, leser litt, prøver, men jeg får det ikke til, og jeg blir så forbannet! Så jeg må bare spørre.

1. [itgl][/itgl] dx/(x[sup]2[/sup]+2x+10)

2. [itgl][/itgl] x[sup]2[/sup]/(x[sup]2[/sup]+x-2) dx

gå og lek med fitta di et annet sted.

1.∫ dx/(x[sup]2[/sup]+2x+10)

Lag ett helt kvadrat av nevneren;

(x+1)[sup]2[/sup]+9

1/9[itgl][/itgl]dx/[((x+1)/3)[sup]2[/sup]+1]

Da kan du bruke substitusjonen u=x/3+1/3
dx=3du
1/3[itgl][/itgl]du/(u[sup]2[/sup]+1)

dette blir 1/3arctan(u)+C, tilbakefører den opprinnelige variabelen;

1/3arctan(x/3+1/3)+C

2.[itgl][/itgl]x[sup]2[/sup]/(x[sup]2[/sup]+x-2)dx

Telleren har samme grad som nevneren, utfører polynomdivisjon.
Integralet kan nå skrives som;

[itgl][/itgl]dx-[itgl][/itgl](x-2)dx/[(x+2)(x-1)]

Dette siste integralet kan spaltes i to delbrøker;

4/3[itgl][/itgl]dx/(x+2)-1/3[itgl][/itgl]dx/(x-1)

Hele greia blir da;

[itgl][/itgl]dx-4/3[itgl][/itgl]dx/(x+2)+1/3[itgl][/itgl]dx/(x-1)

Svaret blir;

x-4/3Lnlx+2l+1/3Lnlx-1l+C

1) I det første integralet kan du anvende substitusjonen u=(x+1)/3 som gir det velkjente integralet
[itgl][/itgl]du / (1 + u[sup]2[/sup]) = tan[sup]-1[/sup]u + C.

2) Her skriver du om integranden vha. av delbrøkoppspalting:

x[sup]2[/sup] / (x[sup]2 [/sup] + x - 2)
= [(x[sup]2 [/sup] + x - 2) + (2 - x)] / (x[sup]2[/sup] + x - 2)
= 1 + (2 - x) / [(x - 1)(x + 2)]
= 1 + 1/[3(x-1)] - 4/[3(x + 2)].

Jeg ser ikke helt hvordan u=(x+1)/3 som gir ∫ du / (1 + u2)

Og jeg skjønner definitivt ikke delbrøkoppspaltningen! På de stykkene jeg har gjort det har det gått opp mye greiere.

Slik gjør jeg delbrøkoppspaltning:


x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup]+9x+1 : x+3 =

x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup]+9x+1 : x+3 = x[sup]2[/sup]
-(x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup])
3x[sup]2[/sup]+9x+1


x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup]+9x+1 : x+3 = x[sup]2[/sup]+3x
-(x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup])
3x[sup]2[/sup]+9x+1
- 3x[sup]2[/sup]+9x
1


x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup]+9x+1 : x+3 = x[sup]2[/sup]+3x + (1/x+3)
-(x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup])
3x[sup]2[/sup]+9x+1
- 3x[sup]2[/sup]+9x
1
- 1
0

Ble litt rotete, men går ikke an å bruke code-tagen når man skal bruke sup-tagen, men håper man ser tegninga.

x[sup]2[/sup] : x[sup]2[/sup]+x-2=1+(-x+2)/(x[sup]2[/sup]+x-2)
-(x[sup]2[/sup]+x-2)
-x+2

x2+2x+10=0

x=-2±[rot][/rot](2[sup]2[/sup]-40)